如图,三角形ABC中,点O是AC上一个动点,过点O作直线MN//BC,设MN交角BCA的平分线于点E,交

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/03 19:38:16

如图,三角形ABC中,点O是AC上一个动点,过点O作直线MN//BC,设MN交角BCA的平分线于点E,交
角BCA的外角平分线于F.
（1）求证：EO=FO.（2）当点O运动到何处时,四边形AECF为矩形?并证明你的结论.（3）：在（2）的基础上,三角形ABC满足什么条件时,四边形AECF能成为正方形?

答：
（1）
因为：MN//BC
所以：∠BCE=∠FEC
因为：EC是∠BCA的平分线
所以：∠ECA=∠BCE=∠FEC……(1)
故△OEC是等腰三角形：EO=CO……（2）
EC是∠BCA的平分线,FC是∠BCA的外角的平分线,所以EC⊥FC.
RT△ECF中：
∠ECA+∠FCO=90°=∠FEC+∠CFE……（3）
由（1）和（3）可得：∠FCO=∠CFE
故△OCF是等腰三角形：FO=CO……（4）
由（2)和（4）可得：EO=FO
（2）当点O运动到AC的中点时,四边形AECF为矩形：
∠ECF=90°
对角线AC和EF相互平分：AO=CO=EO=FO
故四边形AECF是矩形.
（3）当三角形ABC中∠BCA=90°时,四边形AECF能成为正方形.
由结论式（1）：∠ECA=∠BCE=∠FEC=∠BCA/2=90°/2=45°
在△EOC中：∠EOC=180°-∠ECA-∠FEC=180°-45°-45°=90°
所以：AC⊥EF
矩形AECF的对角线互相垂直平分,两条对角线相等
故：矩形AECF为正方形.