百度作业网一道高等函数题目（关于L'Hospital法则和极限）
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 17:22:54
一道高等函数题目（关于L'Hospital法则和极限）
已知f（a）的有二阶导数,求lim(h趋向于0)（f(a+h)+f(a-h)-2f(a)）/h^2
答案是f''(a),用L'Hospital法则易证出,但lim(f(a+h)-f(a))/h=lim(f(a)-f(a-h))/h=f'(a)代入之,得到0咋回事?
还有一个问题，就是如果分子是两项的和，那么可以用这两项分别的极限再求和吗
已知f（a）的有二阶导数,求lim(h趋向于0)（f(a+h)+f(a-h)-2f(a)）/h^2
答案是f''(a),用L'Hospital法则易证出,但lim(f(a+h)-f(a))/h=lim(f(a)-f(a-h))/h=f'(a)代入之,得到0咋回事?
还有一个问题，就是如果分子是两项的和，那么可以用这两项分别的极限再求和吗
楼主只用了一个h,结果就是0/h,h->0,还是0/0,得洛必达,你没用啊
由于h趋向于0时,分子f(a+h)+f(a-h)-2f(a)->f(a)+f(a)-2f(a)=0
可以这么做是因为f二阶可导所以连续
分母h^2->0
所以洛必达分子求导=f'(a+h)*h'+f'(a-h)*(-h)'+0=f'(a+h)-f'(a-h)
因为f(a)与h无关
分母求导=2h
令h->0还是0除0
所以洛必达第二次
分子求导=f''(a+h)*h'-f''(a-h)*(-h)'=f''(a+h)+f''(a-h)
分母求导=2
然后分子极限为f''(a)+f''(a)=2f''(a)
除以分母2,得极限为f''(a)
你的第二个问题：要看情况的,如果不是不定型,（无穷减无穷）都可以
在这道题里就会有不定型,所以要并项考虑
例如1/x-1/x^3需要并项,(sinx-x)/x^2就可以拆分
由于h趋向于0时,分子f(a+h)+f(a-h)-2f(a)->f(a)+f(a)-2f(a)=0
可以这么做是因为f二阶可导所以连续
分母h^2->0
所以洛必达分子求导=f'(a+h)*h'+f'(a-h)*(-h)'+0=f'(a+h)-f'(a-h)
因为f(a)与h无关
分母求导=2h
令h->0还是0除0
所以洛必达第二次
分子求导=f''(a+h)*h'-f''(a-h)*(-h)'=f''(a+h)+f''(a-h)
分母求导=2
然后分子极限为f''(a)+f''(a)=2f''(a)
除以分母2,得极限为f''(a)
你的第二个问题：要看情况的,如果不是不定型,（无穷减无穷）都可以
在这道题里就会有不定型,所以要并项考虑
例如1/x-1/x^3需要并项,(sinx-x)/x^2就可以拆分