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已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 02:26:07
已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
如图8-1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
(1) 求证:BP=DP;
(2) 如图8-2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明;
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连结,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论 .
请写出具体的过程
已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
1 证明:在△BCP和△DCP中
∵BC=CD
∠BCP=∠DCP=45°
CP=PC(公共边)
∴△BCP≌△DCP(SAS)
∴BP=DP
2 不是 DP>BP
在图示情况下,连接BP
在△BEC和△DFC中
∵ BC=CD
∠BCE=90-∠BCF=∠DCF
CE=CF
∴△BEC≌△DFC(SAS)
∴BP=DF
△DPF中
∠DFP=360-90-∠DFC
∵∠DFC -180°
∴∠DFP>360-90-180=90°(是钝角)
∴DP>DF
∴DP>BP
3 在第2问中已经证明了BP=DF,在旋转中,该结论始终成立.