百度作业网九年级(浙江版)上册练习卷---smj 九年级(浙江版)上册练习卷---sm
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九年级<<数学>>(浙江版)上册练习卷---smj 九年级<<数学>>(浙江版)上册练习卷---sm
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1、（2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB与 轴, 轴分别交于A(3,0),B(0, )两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥ 轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝ ,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的
三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件
的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] （1）直线AB解析式为：y= x+ ．
（2）方法一：设点C坐标为（x, x+ ）,那么OD＝x,CD＝ x+ ．
∴ ＝ ＝ ．
由题意： ＝ ,解得 （舍去）
∴ C（2, ）
方法二：∵ , ＝ ,∴ ．
由OA= OB,得∠BAO＝30°,AD= CD．
∴ ＝ CD×AD＝ ＝ ．可得CD＝ ．
∴ AD=1,OD＝2．∴C（2, ）．
（3）当∠OBP＝Rt∠时,如图
①若△BOP∽△OBA,则∠BOP＝∠BAO=30°,BP= OB=3,
∴ （3, ）．
②若△BPO∽△OBA,则∠BPO＝∠BAO=30°,OP= OB=1．
∴ （1, ）．
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图),此时△PBO∽△OBA,∠BOP＝∠BAO＝30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中,BP＝ OB＝ ,OP＝ BP＝ ．
∵ 在Rt△PMO中,∠OPM＝30°,
∴ OM＝ OP＝ ；PM＝ OM＝ ．∴ （ , ）．
方法二：设P（x , x+ ）,得OM＝x ,PM＝ x+
由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
∵tan∠POM== = ,tan∠ABOC= = ．
∴ x+ ＝ x,解得x＝ ．此时, （ , ）．
④若△POB∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO＝30°,∠POM＝30°．
∴ PM＝ OM＝ ．
∴ （ , ）（由对称性也可得到点 的坐标）．
当∠OPB＝Rt∠时,点P在x轴上,不符合要求.
综合得,符合条件的点有四个,分别是：
（3, ）, （1, ）, （ , ）, （ , ）．
2、（2006重庆）如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成 和 两个三角形（如图2所示）.将纸片 沿直线 （AB）方向平移（点 始终在同一直线上）,当点 于点B重合时,停止平移.在平移过程中, 与 交于点E, 与 分别交于点F、P.
(1) 当 平移到如图3所示的位置时,猜想图中的 与 的数量关系,并证明你的猜想；
(2) 设平移距离 为 , 与 重叠部分面积为 ,请写出 与 的函数关系式,以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的 的值,使重叠部分的面积等于原 面积的 .
若存在,求x的值；若不存在,请说明理由.
[解] （1） .因为 ,所以 .
又因为 ,CD是斜边上的中线,
所以, ,即
所以, ,所以
所以, .同理： .
又因为 ,所以 .所以
（2）因为在 中, ,所以由勾股定理,得
即
又因为 ,所以 .所以
在 中, 到 的距离就是 的 边上的高,为 .
设 的 边上的高为 ,由探究,得 ,所以 .
所以 .
又因为 ,所以 .
又因为 , .
所以 ,
而
所以
(3) 存在. 当 时,即
整理,得 解得, .
即当 或 时,重叠部分的面积等于原 面积的 .
3、（2006山东济南）如图1,已知 中, , ．过点 作 ,且 ,连接 交 于点 ．
（1）求 的长；
（2）以点 为圆心, 为半径作⊙A,试判断 与⊙A是否相切,并说明理由；
（3）如图2,过点 作 ,垂足为 ．以点 为圆心, 为半径作⊙A；以点 为圆心, 为半径作⊙C．若 和 的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,且使 点在⊙A的内部, 点在⊙A的外部,求 和 的变化范围．
[解]
（1） 在 中, ,
．
, ．
．
, ．
（2） 与⊙A相切．
在 中, , ,
, ．
又 , ,
与⊙A相切．
（3）因为 ,所以 的变化范围为 ．
当⊙A与⊙C外切时, ,所以 的变化范围为 ；
当⊙A与⊙C内切时, ,所以 的变化范围为 ．
4、（2006浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测,迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下,BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为 ,BC所在抛物线的解析式为 ,且已知 ．
（1）设 是山坡线AB上任意一点,用y表示x,并求点B的坐标；
（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上（见图）．
①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；
②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么?
（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处, （米）．假设索道DE可近似地看成一
段以E为顶点、开口向上的抛物线,解析式为 ．试求索道的最大悬空高度．
[解] （1）∵ 是山坡线AB上任意一点,
∴ , ,
∴ ,
∵ ,∴ ＝4,∴
（2）在山坡线AB上, ,
①令 ,得 ；令 ,得
∴第一级台阶的长度为 （百米） （厘米）
同理,令 、 ,可得 、
∴第二级台阶的长度为 （百米） （厘米）
第三级台阶的长度为 （百米） （厘米）
②取点 ,又取 ,则
∵
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚
（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度,共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性）
②另连接任意一段台阶的两端点P、Q,如图
∵这种台阶的长度不小于它的高度
∴
当其中有一级台阶的长大于它的高时,
在题设图中,作 于H
则 ,又第一级台阶的长大于它的高
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚
（3）
、 、 、
由图可知,只有当索道在BC上方时,索道的悬空高度才有可能取最大值
索道在BC上方时,悬空高度
当 时,
∴索道的最大悬空高度为 米．
5、（2006山东烟台）如图,已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点,
（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式；
（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合）,以AC为对角线,A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D,求证：点D在l2上；
（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积；若不存在,请说明理由.
[解]
（1）设l2的解析式为y=a(x-h)2+k
∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l1与l2关于x轴对称,
∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0,4）
∴y=ax2+4
∴0=4a+4 得 a=-1
∴l2的解析式为y=-x2+4
(2)设B(x1 ,y1)
∵点B在l1上
∴B(x1 ,x12-4)
∵四边形ABCD是平行四边形,A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D(-x1 ,-x12+4).
将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4
∴左边=右边
∴点D在l2上.
(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则
S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1|
a.当点B在x轴上方时,y1＞0
∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,
∴S既无最大值也无最小值
b.当点B在x轴下方时,-4≤y1＜0
∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,
∴当y1 =-4时,S由最大值16,但他没有最小值
此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上.
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
此时S最大=16.
6、（2006山东潍坊）已知二次函数图象的顶点在原点 ,对称轴为 轴．一次函数 的图象与二次函数的图象交于 两点（ 在 的左侧）,且 点坐标为 ．平行于 轴的直线 过 点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段 为直径的圆与直线 的位置关系,并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移 个单位,再向下平移 个单位 ,二次函数的图象与 轴交于 两点,一次函数图象交 轴于 点．当 为何值时,过 三点的圆的面积最小?最小面积是多少?
[解]（1）把 代入 得 ,
一次函数的解析式为 ；
二次函数图象的顶点在原点,对称轴为 轴,
设二次函数解析式为 ,
把 代入 得 ,
二次函数解析式为 ．
（2）由
解得 或 ,
,
过 点分别作直线 的垂线,垂足为 ,
则 ,
直角梯形 的中位线长为 ,
过 作 垂直于直线 于点 ,则 , ,
,
的长等于 中点到直线 的距离的2倍,
以 为直径的圆与直线 相切．
（3）平移后二次函数解析式为 ,
令 ,得 , , ,
过 三点的圆的圆心一定在直线 上,点 为定点,
要使圆面积最小,圆半径应等于点 到直线 的距离,
此时,半径为2,面积为 ,
设圆心为 中点为 ,连 ,则 ,
在三角形 中, ,
,而 , ,
当 时,过 三点的圆面积最小,最小面积为 ．
7、（2006江西）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题：
①如图1,在正三角形△ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON＝60º,则BM＝CN；
②如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON＝90º,则BM＝CN；
然后运用类比的思想提出了如下命题：
③如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON＝108º,则BM＝CN.
任务要求：
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对得4分,选②做对得3分,选③做对得5分）
(2)请你继续完成下列探索：
①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH,使点H在正五边形的边上,且与CN相交所成的一个角是108º,这样的线段有几条?（不必写出画法,不要求证明）
②如图4,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON＝108º,请问结论BM＝CN是否还成立?若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.
[解] （1）以下答案供参考：
（1） 如选命题①
证明：在图1中,∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°
∵∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3
又∵BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN
∴BM=CN
（2）如选命题②
证明：在图2中,∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°
∵∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3
又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN
∴BM=CN
（3）如选命题③
证明；在图3中,∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108°
∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3
又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°
∴ΔBCM≌ΔCDN
∴BM=CN
(2)①答：当∠BON= 时结论BM=CN成立．
②答当∠BON=108°时.BM=CN还成立
证明；如图5连结BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ ΔCDE
∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN
8、（2006吉林长春）如图,在平面直角坐标系中,两个函数 的图象交于点A.动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作PQ‖x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与△OAB重叠部分的面积为S.
（1）求点A的坐标.
（2）试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t（秒）的关系式.
（3）在（2）的条件下,S是否有最大值?若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值；若没有,请说明理由.
（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是____________.
[解]
（1）由 可得
∴A（4,4）.
（2）点P在y = x上,OP = t,
则点P坐标为
点Q的纵坐标为 ,并且点Q在 上.
∴ ,
即点Q坐标为 .
.
当 时, .
当 ,
当点P到达A点时, ,
当 时,
.
（3）有最大值,最大值应在 中,
当 时,S的最大值为12.
1、（2006浙江金华）如图,平面直角坐标系中,直线AB与 轴, 轴分别交于A(3,0),B(0, )两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥ 轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝ ,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的
三角形与△OBA相似.若存在,请求出所有符合条件
的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] （1）直线AB解析式为：y= x+ ．
（2）方法一：设点C坐标为（x, x+ ）,那么OD＝x,CD＝ x+ ．
∴ ＝ ＝ ．
由题意： ＝ ,解得 （舍去）
∴ C（2, ）
方法二：∵ , ＝ ,∴ ．
由OA= OB,得∠BAO＝30°,AD= CD．
∴ ＝ CD×AD＝ ＝ ．可得CD＝ ．
∴ AD=1,OD＝2．∴C（2, ）．
（3）当∠OBP＝Rt∠时,如图
①若△BOP∽△OBA,则∠BOP＝∠BAO=30°,BP= OB=3,
∴ （3, ）．
②若△BPO∽△OBA,则∠BPO＝∠BAO=30°,OP= OB=1．
∴ （1, ）．
当∠OPB＝Rt∠时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图),此时△PBO∽△OBA,∠BOP＝∠BAO＝30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中,BP＝ OB＝ ,OP＝ BP＝ ．
∵ 在Rt△PMO中,∠OPM＝30°,
∴ OM＝ OP＝ ；PM＝ OM＝ ．∴ （ , ）．
方法二：设P（x , x+ ）,得OM＝x ,PM＝ x+
由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO．
∵tan∠POM== = ,tan∠ABOC= = ．
∴ x+ ＝ x,解得x＝ ．此时, （ , ）．
④若△POB∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO＝30°,∠POM＝30°．
∴ PM＝ OM＝ ．
∴ （ , ）（由对称性也可得到点 的坐标）．
当∠OPB＝Rt∠时,点P在x轴上,不符合要求.
综合得,符合条件的点有四个,分别是：
（3, ）, （1, ）, （ , ）, （ , ）．
2、（2006重庆）如图1所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成 和 两个三角形（如图2所示）.将纸片 沿直线 （AB）方向平移（点 始终在同一直线上）,当点 于点B重合时,停止平移.在平移过程中, 与 交于点E, 与 分别交于点F、P.
(1) 当 平移到如图3所示的位置时,猜想图中的 与 的数量关系,并证明你的猜想；
(2) 设平移距离 为 , 与 重叠部分面积为 ,请写出 与 的函数关系式,以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的 的值,使重叠部分的面积等于原 面积的 .
若存在,求x的值；若不存在,请说明理由.
[解] （1） .因为 ,所以 .
又因为 ,CD是斜边上的中线,
所以, ,即
所以, ,所以
所以, .同理： .
又因为 ,所以 .所以
（2）因为在 中, ,所以由勾股定理,得
即
又因为 ,所以 .所以
在 中, 到 的距离就是 的 边上的高,为 .
设 的 边上的高为 ,由探究,得 ,所以 .
所以 .
又因为 ,所以 .
又因为 , .
所以 ,
而
所以
(3) 存在. 当 时,即
整理,得 解得, .
即当 或 时,重叠部分的面积等于原 面积的 .
3、（2006山东济南）如图1,已知 中, , ．过点 作 ,且 ,连接 交 于点 ．
（1）求 的长；
（2）以点 为圆心, 为半径作⊙A,试判断 与⊙A是否相切,并说明理由；
（3）如图2,过点 作 ,垂足为 ．以点 为圆心, 为半径作⊙A；以点 为圆心, 为半径作⊙C．若 和 的大小是可变化的,并且在变化过程中保持⊙A和⊙C相切,且使 点在⊙A的内部, 点在⊙A的外部,求 和 的变化范围．
[解]
（1） 在 中, ,
．
, ．
．
, ．
（2） 与⊙A相切．
在 中, , ,
, ．
又 , ,
与⊙A相切．
（3）因为 ,所以 的变化范围为 ．
当⊙A与⊙C外切时, ,所以 的变化范围为 ；
当⊙A与⊙C内切时, ,所以 的变化范围为 ．
4、（2006浙江嘉兴）某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测,迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成,其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下,BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为 ,BC所在抛物线的解析式为 ,且已知 ．
（1）设 是山坡线AB上任意一点,用y表示x,并求点B的坐标；
（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米,长度因坡度的大小而定,但不得小于20厘米,每级台阶的两端点在坡面上（见图）．
①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；
②这种台阶不能一直铺到山脚,为什么?
（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地,可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处, （米）．假设索道DE可近似地看成一
段以E为顶点、开口向上的抛物线,解析式为 ．试求索道的最大悬空高度．
[解] （1）∵ 是山坡线AB上任意一点,
∴ , ,
∴ ,
∵ ,∴ ＝4,∴
（2）在山坡线AB上, ,
①令 ,得 ；令 ,得
∴第一级台阶的长度为 （百米） （厘米）
同理,令 、 ,可得 、
∴第二级台阶的长度为 （百米） （厘米）
第三级台阶的长度为 （百米） （厘米）
②取点 ,又取 ,则
∵
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚
（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度,共500级．从100米高度到700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性）
②另连接任意一段台阶的两端点P、Q,如图
∵这种台阶的长度不小于它的高度
∴
当其中有一级台阶的长大于它的高时,
在题设图中,作 于H
则 ,又第一级台阶的长大于它的高
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B,从而就不能一直铺到山脚
（3）
、 、 、
由图可知,只有当索道在BC上方时,索道的悬空高度才有可能取最大值
索道在BC上方时,悬空高度
当 时,
∴索道的最大悬空高度为 米．
5、（2006山东烟台）如图,已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点,
（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式；
（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合）,以AC为对角线,A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D,求证：点D在l2上；
（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积；若不存在,请说明理由.
[解]
（1）设l2的解析式为y=a(x-h)2+k
∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l1与l2关于x轴对称,
∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0,4）
∴y=ax2+4
∴0=4a+4 得 a=-1
∴l2的解析式为y=-x2+4
(2)设B(x1 ,y1)
∵点B在l1上
∴B(x1 ,x12-4)
∵四边形ABCD是平行四边形,A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D(-x1 ,-x12+4).
将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4
∴左边=右边
∴点D在l2上.
(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则
S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1|
a.当点B在x轴上方时,y1＞0
∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,
∴S既无最大值也无最小值
b.当点B在x轴下方时,-4≤y1＜0
∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,
∴当y1 =-4时,S由最大值16,但他没有最小值
此时B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上.
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
此时S最大=16.
6、（2006山东潍坊）已知二次函数图象的顶点在原点 ,对称轴为 轴．一次函数 的图象与二次函数的图象交于 两点（ 在 的左侧）,且 点坐标为 ．平行于 轴的直线 过 点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段 为直径的圆与直线 的位置关系,并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移 个单位,再向下平移 个单位 ,二次函数的图象与 轴交于 两点,一次函数图象交 轴于 点．当 为何值时,过 三点的圆的面积最小?最小面积是多少?
[解]（1）把 代入 得 ,
一次函数的解析式为 ；
二次函数图象的顶点在原点,对称轴为 轴,
设二次函数解析式为 ,
把 代入 得 ,
二次函数解析式为 ．
（2）由
解得 或 ,
,
过 点分别作直线 的垂线,垂足为 ,
则 ,
直角梯形 的中位线长为 ,
过 作 垂直于直线 于点 ,则 , ,
,
的长等于 中点到直线 的距离的2倍,
以 为直径的圆与直线 相切．
（3）平移后二次函数解析式为 ,
令 ,得 , , ,
过 三点的圆的圆心一定在直线 上,点 为定点,
要使圆面积最小,圆半径应等于点 到直线 的距离,
此时,半径为2,面积为 ,
设圆心为 中点为 ,连 ,则 ,
在三角形 中, ,
,而 , ,
当 时,过 三点的圆面积最小,最小面积为 ．
7、（2006江西）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中,得到了如下两个命题：
①如图1,在正三角形△ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON＝60º,则BM＝CN；
②如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON＝90º,则BM＝CN；
然后运用类比的思想提出了如下命题：
③如图3,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON＝108º,则BM＝CN.
任务要求：
（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对得4分,选②做对得3分,选③做对得5分）
(2)请你继续完成下列探索：
①请在图3中画出一条与CN相等的线段DH,使点H在正五边形的边上,且与CN相交所成的一个角是108º,这样的线段有几条?（不必写出画法,不要求证明）
②如图4,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、EA上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON＝108º,请问结论BM＝CN是否还成立?若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.
[解] （1）以下答案供参考：
（1） 如选命题①
证明：在图1中,∵∠BON=60°∴∠1+∠2=60°
∵∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3
又∵BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°∴ΔBCM≌ΔCAN
∴BM=CN
（2）如选命题②
证明：在图2中,∵∵∠BON=90°∴∠1+∠2=90°
∵∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3
又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°∴ΔBCM≌ΔCDN
∴BM=CN
（3）如选命题③
证明；在图3中,∵∠BON=108°∴∠1+∠2=108°
∵∠2+∠3=108°∴∠1=∠3
又∵BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°
∴ΔBCM≌ΔCDN
∴BM=CN
(2)①答：当∠BON= 时结论BM=CN成立．
②答当∠BON=108°时.BM=CN还成立
证明；如图5连结BD、CE.
在△BCI)和△CDE中
∵BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°,CD=DE
∴ΔBCD≌ ΔCDE
∴BD=CE , ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠CEN
∵∠CDE=∠DEC=108°, ∴∠BDM=∠CEN
∵∠OBC+∠ECD=108°, ∠OCB+∠OCD=108°
∴∠MBC=∠NCD
又∵∠DBC=∠ECD=36°, ∴∠DBM=∠ECN
∴ΔBDM≌ ΔCNE ∴BM=CN
8、（2006吉林长春）如图,在平面直角坐标系中,两个函数 的图象交于点A.动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作PQ‖x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与△OAB重叠部分的面积为S.
（1）求点A的坐标.
（2）试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t（秒）的关系式.
（3）在（2）的条件下,S是否有最大值?若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值；若没有,请说明理由.
（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的条件是____________.
[解]
（1）由 可得
∴A（4,4）.
（2）点P在y = x上,OP = t,
则点P坐标为
点Q的纵坐标为 ,并且点Q在 上.
∴ ,
即点Q坐标为 .
.
当 时, .
当 ,
当点P到达A点时, ,
当 时,
.
（3）有最大值,最大值应在 中,
当 时,S的最大值为12.