1.已知实数m.n满足mn

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 07:37:39

1.
已知实数m.n满足mn

证明：
任取x1,x2∈（-n/2,正无穷大）且令x10,2x2+n>0
f(x1)-f(x2)=(mx1+1)/(2x1+n)-(mx2+1)/(2x2+n)
(通分)=(2mx1x2+mnx1+2x2+n-2mx1x2-mnx2-2x1-n)/（2x1+n）(2x2+n）
（合并同类项）=（mn-2）（x1-x2）/（2x1+n）(2x2+n）
又因为mn0,x10即f(x1)>f(x2)
所以函数f(x)=(mx+1)/(2x+n)在（-n/2,正无穷大）上为减函数
f(x)=–x2+2x.
f(x)=–(x–1)2+1≤1,∴4n≤1,即n≤1/4
而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1
∴n≤1/4 时,f(x)在〔m,n〕上为增函数.
若满足题设条件的m,n存在,则 f(m)=4m;f(n)=4n
即-m^2+2m=4m;-n^2+2n=4n; 则m=n=0或-2
又m＜n≤1/4 ,∴m=–2,n=0,这时定义域为〔–2,0〕,值域为〔-8,0〕.
由以上知满足条件的m、n存在,m=–2,n=0

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