(2014•四川)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/15 20:34:48
(2014•四川)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;
(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.
∵f(x)=ex-ax2-bx-1,∴g(x)=f′(x)=ex-2ax-b,
又g′(x)=ex-2a,x∈[0,1],∴1≤ex≤e,
∴①当a≤
1
2时,则2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,
∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b;
②当
1
2<a<
e
2,则1<2a<e,
∴当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex-2a<0,当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex-2a>0,
∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,
g(x)min=g[ln(2a)]=2a-2aln(2a)-b;
③当a≥
e
2时,则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0,
∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b,
综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为gmin(x)=
1−b (a≤
1
2)
2a−2aln(2a)−b (
1
2<a<
e
2)
e−2a−b (a≥
e
2);
(2)由f(1)=0,⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1,又f(0)=0,
若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,
由(1)知当a≤
1
2或a≥
e
2时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.
若
1
2<a<
e
2,则gmin(x)=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e+1
令h(x)=
3
2x−xlnx−e+1 (1<x<e)
则h′(x)=
3
2−(lnx+x•
1
x)=
1
2−lnx,∴h′(x)=
1
2−lnx.由h′(x)=
1
2−lnx>0⇒x<
又g′(x)=ex-2a,x∈[0,1],∴1≤ex≤e,
∴①当a≤
1
2时,则2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,
∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b;
②当
1
2<a<
e
2,则1<2a<e,
∴当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex-2a<0,当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex-2a>0,
∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,
g(x)min=g[ln(2a)]=2a-2aln(2a)-b;
③当a≥
e
2时,则2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0,
∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e-2a-b,
综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为gmin(x)=
1−b (a≤
1
2)
2a−2aln(2a)−b (
1
2<a<
e
2)
e−2a−b (a≥
e
2);
(2)由f(1)=0,⇒e-a-b-1=0⇒b=e-a-1,又f(0)=0,
若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,
由(1)知当a≤
1
2或a≥
e
2时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.
若
1
2<a<
e
2,则gmin(x)=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e+1
令h(x)=
3
2x−xlnx−e+1 (1<x<e)
则h′(x)=
3
2−(lnx+x•
1
x)=
1
2−lnx,∴h′(x)=
1
2−lnx.由h′(x)=
1
2−lnx>0⇒x<
(2014•四川)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
(2014•漳州二模)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(2014•石家庄二模)已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R),其中e为自然对数的底数.
(2013•四川)设函数f(x)=ex+x−a(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成
已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R. 若a=-1存在k∈R使得方程f(x)=k有3
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已知函数f(x)=(ax2-2x+1)•e-x(a∈R,e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=(ax2+x)e^x,其中e是自然对数的底数,a∈R
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=ex+aex(a∈R)(其中e是自然对数的底数)
已知函数g(x)=ex-1-ax,a∈R,e是自然对数的底数.