函数的连续性为什么是这样定义的?

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/15 22:13:30

函数的连续性为什么是这样定义的?
比如实数的连续性可以用确界定理去理解,如果某个点被挖去,则这个点左边的数集没有上确界.
那函数的连续性又如何理解呢?
为什么只要当x趋向x0时,f(x)趋向f(x0)就可以证明在这个点上是连续的呢?
或者这么说吧,该如何深入的去理解?
为什么是这样定义?
我的理解是这样的，一个函数f(x)在点x0处是否连续
是看横轴上是否连续和纵轴上是否连续
横轴上是否连续好判断的，因为任意一个x0都是对应着一个函数值
所以只要考虑f(x)在x轴上的投影就可以了
这个其实就是考虑在x0这个点是否被挖去，其实就是实数的连续性
而在纵轴上是否连续考虑就比较麻烦了
因为一个函数值比如说是h,它可能对应的x轴上的点有好几个，比如x1,x2,x0等等
所以显然不能用投影到y轴上的办法去理解。
而按函数连续性的定义，其实就是f(x0)要等于f(x)在x0这个点的极限值。这里假定这个极限值是a。
是否有类似理解实数连续性的方法来理解纵轴上的连续性呢？
我还没理清头绪
to yanrding:你说的情况不一定的吧，可能会有无穷多个的情况的

其实也是投影.
你说的“一个函数值比如说是h,它可能对应的x轴上的点有好几个,比如x1,x2,x0等等”,其实可以把函数分段,在x0的一个小领域内,函数值h只会对应一个x,而不会有几个.
我的想法是不够严谨.

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