已知a是实数,函数f(x)=x^2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最小值
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/17 00:34:01
已知a是实数,函数f(x)=x^2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最小值
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对函数求导数可得f’ (x) = 3x2 - 2ax = x(3x – 2a) ,令f’ (x) = 0,对a的值分类讨论
1)当a < 0 ,所以f(x)在 x ∈(-∞,2a/3]上单调递增(导数的值大于0),在 x ∈[2a/3,0]上单调递减(导数的值小于0),在 x ∈[0,+∞)上单调递增,所以在[0,2] 上单调递增,f(x)min = f(0) = 0 ;
2)当a = 0 ,f(x) = x3在[0,2] 上单调递增,f(x)min = f(0) = 0 ;
3)当a ≥ 3,f(x) 在 x ∈[0,2a/3]上单调递减,而2a/3 ≥ 2,所以f(x)在[0,2] 上调递减,所以f(x)minx = f(2) = 4(2-a) ;
4)当3 > a > 0,f(x) 在 x ∈[0,2a/3]上单调递减,在x ∈[2a/3,+∞)上单调递增,也就是f(x) 在 x ∈[0,2a/3]上单调递减,在x ∈[2a/3,2]上单调递增,要比较f(0) = 0和f(2) = 4(2 - a)的大小,较小的是函数的最小值,所以f(x)min =f(2) = 4(2 - a) ,当2 < x < 3;f(x)min = f(0) = 0 ,当0 < x ≤ 2
综上所述,.
再问: 为什么a以3为分界呢?
再答: 分f’ (x) = 3x2 - 2ax = x(3x – 2a)=0的解x=2a/3在区间[0,2]的左边、区间中、区间右边讨论,即分2a/3
1)当a < 0 ,所以f(x)在 x ∈(-∞,2a/3]上单调递增(导数的值大于0),在 x ∈[2a/3,0]上单调递减(导数的值小于0),在 x ∈[0,+∞)上单调递增,所以在[0,2] 上单调递增,f(x)min = f(0) = 0 ;
2)当a = 0 ,f(x) = x3在[0,2] 上单调递增,f(x)min = f(0) = 0 ;
3)当a ≥ 3,f(x) 在 x ∈[0,2a/3]上单调递减,而2a/3 ≥ 2,所以f(x)在[0,2] 上调递减,所以f(x)minx = f(2) = 4(2-a) ;
4)当3 > a > 0,f(x) 在 x ∈[0,2a/3]上单调递减,在x ∈[2a/3,+∞)上单调递增,也就是f(x) 在 x ∈[0,2a/3]上单调递减,在x ∈[2a/3,2]上单调递增,要比较f(0) = 0和f(2) = 4(2 - a)的大小,较小的是函数的最小值,所以f(x)min =f(2) = 4(2 - a) ,当2 < x < 3;f(x)min = f(0) = 0 ,当0 < x ≤ 2
综上所述,.
再问: 为什么a以3为分界呢?
再答: 分f’ (x) = 3x2 - 2ax = x(3x – 2a)=0的解x=2a/3在区间[0,2]的左边、区间中、区间右边讨论,即分2a/3
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已知a是实数,函数f(x)=x^2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值
已知a是实数,函数f(x)=x^2(x-a)在区间[0,2]上的最大值。
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已知函数f(x)=x^2+2a^3/x+1,其中a>0.求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值
已知函数f(x)=x^2+2a^3/x+1,其中a>0.求函数f(x)在区间【1,2】上的最小值
已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.