百度作业网已知x> 0 y> 0 x+2y+xy=6,求x+2y的取值范围.
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/24 17:43:19
已知x> 0 y> 0 x+2y+xy=6,求x+2y的取值范围.
利用基本不等式,得：
x+2y≥2√(x×2y)=2√2×√(xy)
所以
6=x＋2y＋xy≥2√2×√(xy)+xy
即：xy+2√2×√(xy)-6≤0,
为方便起见,令k=√(xy),显然k≥0,则上式变形为：
k^2+(2√2)k-6≤0
解这个不等式,得：
0≤k≤√2
所以
xy=k²≤(√2)²=4
其中等号当且仅当x=2y即x=2√2、y=√2时成立.
故xy的最大值为4
x+2y=6-xy≥6-4=2
x+2y≥2
再问： 好像不对！
再答： xy=k²≤(√2)²=2 这里错了 其中等号当且仅当x=2y即x=2、y=1时成立。 故xy的最大值为2 x+2y=6-xy≥6-2=4 x+2y≥4
再问： 好像还不对！怎么会正无穷呢？
再答： xy的最大值为2 x+2y+xy=6 x>0,y>0 xy>0 x+2y=6-xy 6>x+2y≥4
x+2y≥2√(x×2y)=2√2×√(xy)
所以
6=x＋2y＋xy≥2√2×√(xy)+xy
即：xy+2√2×√(xy)-6≤0,
为方便起见,令k=√(xy),显然k≥0,则上式变形为：
k^2+(2√2)k-6≤0
解这个不等式,得：
0≤k≤√2
所以
xy=k²≤(√2)²=4
其中等号当且仅当x=2y即x=2√2、y=√2时成立.
故xy的最大值为4
x+2y=6-xy≥6-4=2
x+2y≥2
再问： 好像不对！
再答： xy=k²≤(√2)²=2 这里错了 其中等号当且仅当x=2y即x=2、y=1时成立。 故xy的最大值为2 x+2y=6-xy≥6-2=4 x+2y≥4
再问： 好像还不对！怎么会正无穷呢？
再答： xy的最大值为2 x+2y+xy=6 x>0,y>0 xy>0 x+2y=6-xy 6>x+2y≥4
已知x> 0 y> 0 x+2y+xy=6,求x+2y的取值范围.
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