无限维线性空间基的存在性证明

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/02 01:26:20

无限维线性空间基的存在性证明
Zorn 引理中说所有链有上限的集合有极大元素,那么这对以一个可数的无穷维线性空间怎么用Zorn引理证明其基的存在性?

能用Zorn引理的话不可数无穷维也不是问题.
考虑集合S,其中的元素取遍线性空间V中线性无关的向量组,显然S非空(V不是零线性空间).
S上可以定义一偏序关系为包含,即元素a≥b若向量组a包含向量组b.
对S的任意全序子集(链)T,我们在S中构造T的一个上界m,方法是对T中所有向量组取并集.
对m中的任何有限个向量v_1,..,v_n,它们分别包含在T的元素c_1,...,c_n中.
由T是全序子集,c_1,...,c_n中最大的元素(记为c)包含v_1,..,v_n全体.
由c是S的元素,即线性无关的向量组,可知v_1,..,v_n线性无关.
于是我们证明了m也是线性无关的向量组,因而是S的元素.又由m的构造易见m是T的一个上界.
至此,我们证明了S满足Zorn引理的条件.于是,S存在极大元p.
作为S的元素,p是线性无关的向量组.
而由p的极大性,p添加任意向量都将变成线性相关的,即p能线性表出所有向量.
于是p是线性空间V的一组基.
看上去证的比较繁琐,但是许多用Zorn引理的证明都是差不多的思路,熟了就好.
另外强调一点,纯粹的代数里,线性相关与线性无关都是指有限线性组合,无穷求和没有定义(需要拓扑给出收敛性).

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