百度作业网如图 求这个幂级数的和函数
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/12 06:38:12
如图 求这个幂级数的和函数
∑{0 ≤ n} (2n+1)/n!·x^(2n)的一个原函数为∑{0 ≤ n} x^(2n+1)/n!.
∑{0 ≤ n} x^(2n+1)/n!= x·∑{0 ≤ n} x^(2n)/n!= x·∑{0 ≤ n} (x²)^n/n!.
由e^x = ∑{0 ≤ n} x^n/n!即得xe^(x²) = x·∑{0 ≤ n} (x²)^n/n!.
于是∑{0 ≤ n} (2n+1)/n!·x^(2n) = (xe^(x²))' = e^(x²)+2x²e^(x²) = (1+2x²)e^(x²).
∑{0 ≤ n} x^(2n+1)/n!= x·∑{0 ≤ n} x^(2n)/n!= x·∑{0 ≤ n} (x²)^n/n!.
由e^x = ∑{0 ≤ n} x^n/n!即得xe^(x²) = x·∑{0 ≤ n} (x²)^n/n!.
于是∑{0 ≤ n} (2n+1)/n!·x^(2n) = (xe^(x²))' = e^(x²)+2x²e^(x²) = (1+2x²)e^(x²).