已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g(x)＝(lnx−1)ex +x（其中e为自然对数的底）．

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/06/23 01:55:08

已知a∈R，函数f(x)＝

+lnx−1，g(x)＝(lnx−1)

（1）∵f(x)＝
a
x+x+lnx−1∴f′（x）=−
a
x2+
1
x=
x−a
x2，令f′（x）=0得，x=a，
①若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，当x∈（a，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e）上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna．
②若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以当x=e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值
a
e．；
综上所述，当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna，当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值
a
e．；
（2）不存在．证明如下
g(x)＝(lnx−1)
ex +x，x∈（0，e]，
∴g′（x）=
1
x•e^x+（lnx-1）e^x+1=（
1
x+lnx-1）e^x+1
由（1）知，当a=1时，f(x)＝
1
x+lnx−1，此时f（x）在区间（0，e]上取得最小值ln1=0，即
1
x+lnx−1≥0，而e^x＞0，所以g′（x）≥1＞0，
又曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直，等价于g′（x₀）=0有实数根，而g′（x）＞0，所以方程g′（x₀）=0无实数根，
故不存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．

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