百度作业网【高中数学】求过圆上一点的切线方程
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/04 18:53:15
【高中数学】求过圆上一点的切线方程
你学过导数了没有?向量呢?
再问： 嗯
再问： 这道题不用吧
再答： 导数:
先假设切线有斜率,(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0对x求导,得
2(x-a)+2(y-b)*y'=0
即y'=-(x-a)/(y-b),这就是方程确定的函数的导数
把(x0,y0)代入导数中得y'=-(x0-a)/(y0-b),这就是在(x0,y0)处切线的斜率
点斜式,有y-y0=-(x0-a)/(y0-b)*(x-x0)
去括号,有yy0-y0^2-by+by0=ax-ax0-x0x+x0^2
整理得(y-y0)(y0-b)+(x-x0)(x0-a)=0
对括号内稍微作个处理,变成
(y-y0+b-b)(y0-b)+(x-x0+a-a)(x0-a)=0
即(y-b)(y0-b)-(y0-b)^2+(x-b)(x0-b)-(x0-a)^2=0
∵(y0-b)^2+(x0-a)^2=r^2,∴上式化为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
当切线无斜率时,切点为平行於x轴的直径的两个端点,即此时y0=b,x0=a-r或a+r
把两个点代入上面的切线方程中发现也是成立的,所以对於圆上任何一点(x0,y0)
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2都是切线方程
向量:
OM→=(x0-a,y0-b)
设切线上除M外的点N为(x,y),则MN→=(x-x0,y-y0)
切线垂直於半径,所以有MN→·OM→=0
即(x-x0)(x0-a)+(y-y0)(y0-b)=0
下面的写法和导数一样
再问： 嗯
再问： 这道题不用吧
再答： 导数:
先假设切线有斜率,(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0对x求导,得
2(x-a)+2(y-b)*y'=0
即y'=-(x-a)/(y-b),这就是方程确定的函数的导数
把(x0,y0)代入导数中得y'=-(x0-a)/(y0-b),这就是在(x0,y0)处切线的斜率
点斜式,有y-y0=-(x0-a)/(y0-b)*(x-x0)
去括号,有yy0-y0^2-by+by0=ax-ax0-x0x+x0^2
整理得(y-y0)(y0-b)+(x-x0)(x0-a)=0
对括号内稍微作个处理,变成
(y-y0+b-b)(y0-b)+(x-x0+a-a)(x0-a)=0
即(y-b)(y0-b)-(y0-b)^2+(x-b)(x0-b)-(x0-a)^2=0
∵(y0-b)^2+(x0-a)^2=r^2,∴上式化为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
当切线无斜率时,切点为平行於x轴的直径的两个端点,即此时y0=b,x0=a-r或a+r
把两个点代入上面的切线方程中发现也是成立的,所以对於圆上任何一点(x0,y0)
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2都是切线方程
向量:
OM→=(x0-a,y0-b)
设切线上除M外的点N为(x,y),则MN→=(x-x0,y-y0)
切线垂直於半径,所以有MN→·OM→=0
即(x-x0)(x0-a)+(y-y0)(y0-b)=0
下面的写法和导数一样