百度作业网抽象代数:"等价"的问题
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 19:11:16
抽象代数:"等价"的问题
设R是实数集上的关系,并且aRb,当且仅当a-b是整数.R是等价关系吗?
a等价与b,究竟表达了一种什么样的含义,是a和b都有某种性质,还是ab之间的运算结果要符合某种条件?等等.
设R是实数集上的关系,并且aRb,当且仅当a-b是整数.R是等价关系吗?
a等价与b,究竟表达了一种什么样的含义,是a和b都有某种性质,还是ab之间的运算结果要符合某种条件?等等.
事物A与事物B等价,一般是指A,B在某些方面具有共同的性质,人们在研究这些共同的性质时,对事物A,B不加以区分,认为A,B是同一个事物.
对于两个命题A,B,如果A=>B且B=>A,则称命题A,B等价.
若关系R在集合A中是自反、对称和传递的,则称R为A上的等价关系.所谓关系R 就是笛卡尔积 A×A 中的一个子集.
A中的两个元素x,y有关系R,如果(x,y)∈R.我们常简记为 xRy.
自反:任意x属于A,则x与自己具有关系R,即xRx;
对称:任意x,y属于A,如果x与y具有关系R,即xRy,则y与x也具有关系R,即yRx;
传递:任意x,y,z属于A,如果xRy且yRz,则xRz
x,y具有等价关系R,则称x,y R等价,有时亦简称等价.
例如：在全体人的集合A中,室友是A上的一种关系,如果认为自己跟自己可以称为室友,则满足自反性,但如果甲是乙的室友,则必定乙是甲的室友,满足对称性,同时,如果甲是乙的室友,乙是丙的室友,则甲是丙的室友,满足传递性；因此,室友关系可以称为等价关系.于是在代表宿舍参加活动这一点上,宿舍成员身份是等同的,不论甲还是乙,对外不加区别,即甲乙等价.
另外,三角形的全等也是等价关系.因为A全等A；A全等B=>B全等A,；A全等B,B全等C=>A全等C
A中与元素 x 等价的所有元素构成的子集叫做 x 所在等价类,x也称为这个等价类的代表元.集合A可以划分为一些等价类的并集,这些等价类两两不相交.任何元素都必定落在某个等价类里面.
更广泛意义的等价,是集合在某种变换下保持不变性.如：矩阵A与称为等价的,如果B可以是A经过一系列初等变换得到.矩阵在初等变换下是行列式不变的.在线性代数中,合同、相似都是等价关系.
对于两个命题A,B,如果A=>B且B=>A,则称命题A,B等价.
若关系R在集合A中是自反、对称和传递的,则称R为A上的等价关系.所谓关系R 就是笛卡尔积 A×A 中的一个子集.
A中的两个元素x,y有关系R,如果(x,y)∈R.我们常简记为 xRy.
自反:任意x属于A,则x与自己具有关系R,即xRx;
对称:任意x,y属于A,如果x与y具有关系R,即xRy,则y与x也具有关系R,即yRx;
传递:任意x,y,z属于A,如果xRy且yRz,则xRz
x,y具有等价关系R,则称x,y R等价,有时亦简称等价.
例如：在全体人的集合A中,室友是A上的一种关系,如果认为自己跟自己可以称为室友,则满足自反性,但如果甲是乙的室友,则必定乙是甲的室友,满足对称性,同时,如果甲是乙的室友,乙是丙的室友,则甲是丙的室友,满足传递性；因此,室友关系可以称为等价关系.于是在代表宿舍参加活动这一点上,宿舍成员身份是等同的,不论甲还是乙,对外不加区别,即甲乙等价.
另外,三角形的全等也是等价关系.因为A全等A；A全等B=>B全等A,；A全等B,B全等C=>A全等C
A中与元素 x 等价的所有元素构成的子集叫做 x 所在等价类,x也称为这个等价类的代表元.集合A可以划分为一些等价类的并集,这些等价类两两不相交.任何元素都必定落在某个等价类里面.
更广泛意义的等价,是集合在某种变换下保持不变性.如：矩阵A与称为等价的,如果B可以是A经过一系列初等变换得到.矩阵在初等变换下是行列式不变的.在线性代数中,合同、相似都是等价关系.