（2013•新余模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 23:14:06

（2013•新余模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若AC=8，AB=12，求⊙O的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

（1）设⊙O的半径为r，连接OD，

∵BC切⊙O于点D，
∴OD⊥BC，即∠ODB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠ODB，
∵∠B=∠B，
∴△OBD∽△ABC，…（2分）
又∵AC=8，AB=12，
∴
OD
AC=
OB
AB，即
r
8＝
12−r
12，
解得：r=
24
5，
∴⊙O的半径为
24
5；…（4分）

（2）四边形OFDE是菱形，理由为：…（5分）
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠B，
∵∠DEF=
1
2∠DOB，
∴∠B=
1
2∠DOB，
∵∠ODB=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠DOB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=60°，
∵OD=OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴OD=DE，
∵OD=OF，
∴DE=OF，又DE∥OF，
∴四边形OFDE是平行四边形，…（7分）
∵OE=OF，
∴平行四边形OFDE是菱形．…（8分）