百度作业网“5•12”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治．设
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 23:40:26
“5•12”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治．设有三个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处，AB=10km，BC=5km，现要在该矩形的区域内（含边界），且与A，B等距离的一点O处建造一个医疗站，记O点到三个乡镇的距离之和为y．
（1）设∠BAO=θ（rad），将y表示为θ的函数；
（2）试利用（1）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．
（1）设∠BAO=θ（rad），将y表示为θ的函数；
（2）试利用（1）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．
（1）：延长PO，交AB于Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
则 OA＝
AQ
cosθ＝
5
cosθ，故 OB＝
5
cosθ，又OP=5-5tanθ，
所以 y=OA+OB+OP=y＝
10−5sinθ
cosθ+5(0≤θ≤
π
4)；
（2）y′＝
−5cosθ•cosθ−(10−5sinθ)(−sinθ)
cos2θ＝
5(2sinθ−1)
cos2θ，令y′=0得sin θ＝
1
2，因为 0＜θ＜
π
4，所以θ=
π
6，当 θ∈(0，
π
6)时，y′＜0，y是θ的减函数；当 θ∈(
π
6，
π
4)时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=
π
6时，ymin＝5+5
3．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边
5
3
3km处．
则 OA＝
AQ
cosθ＝
5
cosθ，故 OB＝
5
cosθ，又OP=5-5tanθ，
所以 y=OA+OB+OP=y＝
10−5sinθ
cosθ+5(0≤θ≤
π
4)；
（2）y′＝
−5cosθ•cosθ−(10−5sinθ)(−sinθ)
cos2θ＝
5(2sinθ−1)
cos2θ，令y′=0得sin θ＝
1
2，因为 0＜θ＜
π
4，所以θ=
π
6，当 θ∈(0，
π
6)时，y′＜0，y是θ的减函数；当 θ∈(
π
6，
π
4)时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=
π
6时，ymin＝5+5
3．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边
5
3
3km处．
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