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过抛物线y2=4ax(a>0)的焦点F,作相互垂直的两条焦点弦AB和CD,求|AB|+|CD|的最小值.

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/18 00:03:09
过抛物线y2=4ax(a>0)的焦点F,作相互垂直的两条焦点弦AB和CD,求|AB|+|CD|的最小值.
过抛物线y2=4ax(a>0)的焦点F,作相互垂直的两条焦点弦AB和CD,求|AB|+|CD|的最小值.
抛物线的焦点F坐标为(a,0),设直线AB方程为y=k(x-a),
则CD方程为y=−
1
k(x−a),
分别代入y2=4x得:k2x2-(2ak2+4a)x+k2a2=0及
1
k2x2−(2a
1
k2+4a)x+
a2
k2=0,
∵|AB|=xA+xB+p=2a+
2a
k2+2a,|CD|=xC+xD+p=2a+4ak2+2a,
∴|AB|+|CD|=8a+
4a
k2+4ak2≥16a,当且仅当k2=1时取等号,
所以,|AB|+|CD|的最小值为16a.