设满足1、Y轴截圆所得弦长为2 2、被X轴分成两段弧,其弧长之比为3:1

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/23 15:48:35

设满足1、Y轴截圆所得弦长为2 2、被X轴分成两段弧,其弧长之比为3:1
在满足1,2的所有圆中,求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程.

设圆心为（x,y)
y轴截圆所得弦长为2,那么就得到x^2+1^2=r^2
又被X轴分成两段弧,其弧长之比为3:1,也就是说分成的两段弧所对的圆心角之比是3：1,那么那段劣弧所对圆心角就是90°了,如此则2y^2=r^2,
则y^2=1/2(x^2+1),整理一下得2y^2-x^2=1.那么现在题目就变成求这条双曲线上那个点离着L最近了.
首先试一下是否有公共点,发现没有.那就只好找切线了.（做这个题应该已经学到双曲线和导数了吧.）
按照相关知识,易于得出一,三象限各有一条.一象限的双曲线可以写成y=根号2/2 *根号下（x^2+1),求导得：y'=根号下2/2 * x/根号下(x^2+1) 令y'=1/2 得到x=1,则该点为（1,1）,依据对称性,三象限那个切点是（-1,-1）
那么圆的方程为（x-1）^2+(y-1)^2=2
或者（x+1)^2+(y+1)^2=2.
啊,怎么这么麻烦,累死我了.
纯手打手算啊!
呃,忘了一个事情,不用这个法也行.可以用不等式.
2y^2-x^2=1
(x,y)到直线x-2y=0的距离为
d=|x-2y|/根5
5d^2=x^2+4y^2-4xy≥x^2+4y^2-2(x^2+y^2)=2y^2-x^2=1
当x=y时上式等号成立,
此时,5d^2=1,从而d取得最小值.
x=y=1,或x=y=-1
则r=根号下2
则所求圆的方程是:
(x-1)^2+(y-1)^2=2,
或(x+1)^2+(y+1)^2=2.
自己选个好的吧!

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