百度作业网有关函数的题
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 09:28:36
已知函数f(x)在R上有定义，对仁义实数a>0和任意实数x，都有f(ax)=af(x) (1).证明当x≥0时f(x)=kx,当x0，设g(x)=（1/f(x)）+f(x) (x>0),讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值。
解题思路： 见解答
解题过程：
由已知，f(a*0) = af(0)，所以f(0)=0
（1）
当x>0时，f(x) = f(x*1) = xf(1)，令k=f(1)，则有f(x)=kx
再由f(0)=0=k*0，可得当x≥0时f(x)=kx
x<0时，f(x) = f((-x)*(-1)) = (-x)f(-1)，令h=-f(-1)，则有f(x)=hx
（2）
由k=f(1)>0，当x>0时，f(x)=kx>0，故得g(x)=(1/f(x))+f(x) >0
因为g(x) = (1/f(x))+f(x) ≥ 2，故g(x)的最小值为2，
且等号在1/f(x) = f(x) 时，即f(x)*f(x) = 1时取得
由f(x)=kx=1，可得x=1/k时，g(x)取最小值，
因此g(x)在(0,1/k)单减，在(1/k,+∞)单增，x=1/k时，g(x)取极小值2
最终答案：略
解题过程：
由已知，f(a*0) = af(0)，所以f(0)=0
（1）
当x>0时，f(x) = f(x*1) = xf(1)，令k=f(1)，则有f(x)=kx
再由f(0)=0=k*0，可得当x≥0时f(x)=kx
x<0时，f(x) = f((-x)*(-1)) = (-x)f(-1)，令h=-f(-1)，则有f(x)=hx
（2）
由k=f(1)>0，当x>0时，f(x)=kx>0，故得g(x)=(1/f(x))+f(x) >0
因为g(x) = (1/f(x))+f(x) ≥ 2，故g(x)的最小值为2，
且等号在1/f(x) = f(x) 时，即f(x)*f(x) = 1时取得
由f(x)=kx=1，可得x=1/k时，g(x)取最小值，
因此g(x)在(0,1/k)单减，在(1/k,+∞)单增，x=1/k时，g(x)取极小值2
最终答案：略