百度作业网可积函数变上限积分一定是连续函数吗?
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 12:59:35
可积函数变上限积分一定是连续函数吗?
考研数学全书中说,在区间[a,b]上有有限个间断点的函数在该区间上必可积,请问这个间断点必须是第一类间断点吗?还是仅除去无穷间断点以外的间断点?还有若是跳跃间断点,则它的变上限积分在该点处还连续吗?想过去应该不连续吧!求高手解答
考研数学全书中说,在区间[a,b]上有有限个间断点的函数在该区间上必可积,请问这个间断点必须是第一类间断点吗?还是仅除去无穷间断点以外的间断点?还有若是跳跃间断点,则它的变上限积分在该点处还连续吗?想过去应该不连续吧!求高手解答
这个间断点包括所有的间断点.
注意以下性质：若f在[a,b]上有界且在[a,b]上除去有限个点外是连续的,则f在[a,b]上可积.
积分的几何意义就是求曲边梯形的面积,在曲线上去除有限个点,是不会影响梯形的面积的.
再问： 应该不包含所有间断点吧，如果有无穷间断点函数就无界了
再答： 在积分学一章中有专门讲反常积分的。其中讲到了无穷区间上的积分和无界函数的积分。当结果存在时积分收敛，否则积分发散。可见定积分的基本限制条件：（1）[a,b]是有限闭区间；（2）f是[a,b]上的有界函数；这两个条件是可以突破的。
或许您有这样的疑问，如果函数是无界的，那么计算面积时结果不会趋于无穷大吗？对此，可参考高等数学无穷级数这一章，注意收敛与发散的概念。
注意以下性质：若f在[a,b]上有界且在[a,b]上除去有限个点外是连续的,则f在[a,b]上可积.
积分的几何意义就是求曲边梯形的面积,在曲线上去除有限个点,是不会影响梯形的面积的.
再问： 应该不包含所有间断点吧，如果有无穷间断点函数就无界了
再答： 在积分学一章中有专门讲反常积分的。其中讲到了无穷区间上的积分和无界函数的积分。当结果存在时积分收敛，否则积分发散。可见定积分的基本限制条件：（1）[a,b]是有限闭区间；（2）f是[a,b]上的有界函数；这两个条件是可以突破的。
或许您有这样的疑问，如果函数是无界的，那么计算面积时结果不会趋于无穷大吗？对此，可参考高等数学无穷级数这一章，注意收敛与发散的概念。