百度作业网若a1,a2,a3线性无关 则如何证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 05:44:09
若a1,a2,a3线性无关 则如何证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关
又如何证明a1-a2,a2-a1,a3线性相关
又如何证明a1-a2,a2-a1,a3线性相关
设 k1(a1+a2) + k2(a2+a3) + k3(a3+a1) = 0
[ 注:由定义,若有不全为0的k1,k2,k3 满足上式,则向量组线性相关,否则线性无关 ]
整理得 (k1+k3)a1 + (k1+k2)a2 + (k2+k3)a3 = 0
由已知 a1,a2,a3线性无关
所以 k1+k3 = 0
k1+k2 = 0
k2+k3 = 0.
[哈,现在就要看上面这个齐次线性方程组是只有零解(线性无关)还是有非零解(线性相关)了]
因为方程组的系数行列式 =
1 0 1
1 1 0
0 1 1
=2
所以方程组只有零解!
即必有 k1=k2=k3 =0
所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1的线性无关.
2.可同样讨论a1-a2,a2-a1,a3的线性相关性
但线性相关,一般可以观察出来非零的线性组合
(a1-a2) + (a2-a1) + 0a3 = 0
即找到了不全为的数 1,1,0 使得a1-a2,a2-a1,a3的线性组合等于0
所以 a1-a2,a2-a1,a3 线性相关.
[ 注:由定义,若有不全为0的k1,k2,k3 满足上式,则向量组线性相关,否则线性无关 ]
整理得 (k1+k3)a1 + (k1+k2)a2 + (k2+k3)a3 = 0
由已知 a1,a2,a3线性无关
所以 k1+k3 = 0
k1+k2 = 0
k2+k3 = 0.
[哈,现在就要看上面这个齐次线性方程组是只有零解(线性无关)还是有非零解(线性相关)了]
因为方程组的系数行列式 =
1 0 1
1 1 0
0 1 1
=2
所以方程组只有零解!
即必有 k1=k2=k3 =0
所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1的线性无关.
2.可同样讨论a1-a2,a2-a1,a3的线性相关性
但线性相关,一般可以观察出来非零的线性组合
(a1-a2) + (a2-a1) + 0a3 = 0
即找到了不全为的数 1,1,0 使得a1-a2,a2-a1,a3的线性组合等于0
所以 a1-a2,a2-a1,a3 线性相关.
若a1,a2,a3线性无关 则如何证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关
若a1,a2,a3线性无关.证明a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关.
设向量组a1,a2,a3,线性无关.证明：向量组a1+a2+a3,a2+a3,a3也线性无关
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证明：若n维向量a1不等于0,a2不能由a1线性表示,a3不能由a1,a2线性表示,则a1,a2,a3线性无关.
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