百度作业网请问微分流形和黎曼流行主要内容是什么?
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 19:50:51
请问微分流形和黎曼流行主要内容是什么?
微分流形
一、 流形的基本概念：流形的定义和基本例子,子流形,切空间和切丛,光滑函数、光滑映射及切映射.要求了解球面、环面、射影空间等基本例子,并了解一维、二维流形的分类.要求了解浸入（immersion）、嵌入（embedding）、淹没（submersion）和微分同胚的概念.
二、 正则性、奇异性及其应用：正则点和正则值,临界点和临界值,Sard定理,Morse引理,Thom横截性定理.要求了解映射度的概念,并能运用正则值的概念验证某些空间是流形.
三、 光滑向量场和可积性定理：光滑向量场及其奇点的定义,Lie括号,积分曲线和动力系统,Euler-Poincare公式,Frobenius可积性定理.
四、 Lie群和Lie 群作用初步：Lie群和Lie代数的定义和基本例子,单参数子群,指数映射,Lie群在流形上的作用,基本向量场,齐性空间等.要求能够验证一些常见的矩阵群为Lie群并计算它们的Lie代数,并对一些低维Lie群的流形结构较为熟悉.要求能将一些常见流形写成齐性流形.
五、 微分形式和积分：微分形式和外积的定义和性质,外微分,内积,Lie 导数,Cartan公式,de Rham上同调,Poincare对偶,Laplace算子,Hodge理论初步,定向和微分形式的积分,带边流形和Stokes定理.要求掌握单位分解的技巧,要求了解外微分和Stokes定理的古典形式.要求能够计算常见流形和二维流形的上同调环.
六、 Riemann 几何初步：Riemann度量,Levi-Civita联络,Christoffel符号,Rieman曲率,截曲率,常截曲率流形的模型.要求能够从给定的Riemann度量计算Riemann曲率.要求对向量丛的概念和张量运算较为熟悉.
黎曼流形
爱因斯坦的广义相对论告诉我们,引力并不是真正的力,而是反映空间扭曲的一个几何现象.对一个考察者来说,他身处在这个空间里,是无法直接体会到空间扭曲的.但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲,测量的标准就是所谓的度量.度量是内蕴性质.具有度量的空间就称为黎曼空间.
具体的定义如下：
黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形,换句话说,这个流形上有一个对称 正定 协变 二阶张量场,亦即每一点处有一个2阶正定矩阵.给了度量以后,我们就可以向数学分析里做的那样,建立起微积分的理论.
欧氏空间有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2.它的矩阵就是单位矩阵.
欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量.曲线和曲面的微分几何 里,我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形,所以自然赋予了度量结构.
黎曼度量给定后,我们可以有唯一的确定出一个对称（即无挠）联络,并且它是保持黎曼内积.这个联络称为黎曼联络.
有了联络,我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数,从而建立起流形上的微分学.在欧氏空间上,联络是0,所以这就是通常意义上的向量函数的微分.
黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念,它反映了流形的弯曲程度,是内蕴性质,也就是说这个性质与流形所在的大空间无关.曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形.欧氏空间就是最常见的平坦流形.
大数学家 高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率,发现这种曲率是内蕴的,尽管它的定义式不是内蕴的.这是一个非常了不起的发现.
一、 流形的基本概念：流形的定义和基本例子,子流形,切空间和切丛,光滑函数、光滑映射及切映射.要求了解球面、环面、射影空间等基本例子,并了解一维、二维流形的分类.要求了解浸入（immersion）、嵌入（embedding）、淹没（submersion）和微分同胚的概念.
二、 正则性、奇异性及其应用：正则点和正则值,临界点和临界值,Sard定理,Morse引理,Thom横截性定理.要求了解映射度的概念,并能运用正则值的概念验证某些空间是流形.
三、 光滑向量场和可积性定理：光滑向量场及其奇点的定义,Lie括号,积分曲线和动力系统,Euler-Poincare公式,Frobenius可积性定理.
四、 Lie群和Lie 群作用初步：Lie群和Lie代数的定义和基本例子,单参数子群,指数映射,Lie群在流形上的作用,基本向量场,齐性空间等.要求能够验证一些常见的矩阵群为Lie群并计算它们的Lie代数,并对一些低维Lie群的流形结构较为熟悉.要求能将一些常见流形写成齐性流形.
五、 微分形式和积分：微分形式和外积的定义和性质,外微分,内积,Lie 导数,Cartan公式,de Rham上同调,Poincare对偶,Laplace算子,Hodge理论初步,定向和微分形式的积分,带边流形和Stokes定理.要求掌握单位分解的技巧,要求了解外微分和Stokes定理的古典形式.要求能够计算常见流形和二维流形的上同调环.
六、 Riemann 几何初步：Riemann度量,Levi-Civita联络,Christoffel符号,Rieman曲率,截曲率,常截曲率流形的模型.要求能够从给定的Riemann度量计算Riemann曲率.要求对向量丛的概念和张量运算较为熟悉.
黎曼流形
爱因斯坦的广义相对论告诉我们,引力并不是真正的力,而是反映空间扭曲的一个几何现象.对一个考察者来说,他身处在这个空间里,是无法直接体会到空间扭曲的.但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在空间扭曲,测量的标准就是所谓的度量.度量是内蕴性质.具有度量的空间就称为黎曼空间.
具体的定义如下：
黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形,换句话说,这个流形上有一个对称 正定 协变 二阶张量场,亦即每一点处有一个2阶正定矩阵.给了度量以后,我们就可以向数学分析里做的那样,建立起微积分的理论.
欧氏空间有自然的度量ds^2=(dx_1)^2+...+(dx_n)^2.它的矩阵就是单位矩阵.
欧氏空间中的子流形当然也就自然地诱导出一个度量.曲线和曲面的微分几何 里,我们都是把曲线曲面视为三维空间的子流形,所以自然赋予了度量结构.
黎曼度量给定后,我们可以有唯一的确定出一个对称（即无挠）联络,并且它是保持黎曼内积.这个联络称为黎曼联络.
有了联络,我们就可以定义向量场的协变微分和协变导数,从而建立起流形上的微分学.在欧氏空间上,联络是0,所以这就是通常意义上的向量函数的微分.
黎曼度量还诱导出黎曼曲率的概念,它反映了流形的弯曲程度,是内蕴性质,也就是说这个性质与流形所在的大空间无关.曲率恒消失的流形称为平坦黎曼流形.欧氏空间就是最常见的平坦流形.
大数学家 高斯 最早研究了曲面上的曲率--高斯曲率,发现这种曲率是内蕴的,尽管它的定义式不是内蕴的.这是一个非常了不起的发现.