极限函数中limβ→0时(1+β)^1/β=e,为什么得e而不是其他数字?

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 16:39:05

极限函数中limβ→0时(1+β)^1/β=e,为什么得e而不是其他数字?
证明y=a^x,
　　Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
　　Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx
　　如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β).
　　所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
　　显然,当Δx→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
　　把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna.
　　可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x
中间在limβ→0时(1+β)^1/β=e,百思不得其姐啊!

1、我们是将这个极限最终所趋向的那个数称为e ,也就是取名为e,而不是它趋向于e；

2、楼主上面的推导过程,为什么不一步到位取自然对数呢?为什么先取a为底的对数,
      再迂回到将a为底的对数转化为自然对数,为什么这样?是你自己的解法?还是你
      的老师给的方法呢?如果是老师给的,那问题就严重了.因为e^x跟lnx的出现,使
      得微积分很多运算成为可能,使得复变函数、三角函数、求导、积分、、、变得
      极为简单,如果你的老师仍然是喜欢常用对数,说明他的微积分功底很成问题.这
      就如同一个教师热衷于角度制,而不是本能的喜欢弧度制,那他的微积分一定学得
      一塌糊涂.

3、下面的图片说明e的来源与e的特点：

认认真真解答题目,很费时费神,请谅解.

极限函数中limβ→0时(1+β)^1/β=e,为什么得e而不是其他数字? 分段函数极限为什么lim x->-0 1/[1+e^(1/x)]=1 而lim x->+0 1/[1+e^(1/x)]= lim x→0 e^ln（2+x）/（1+x）求函数极限求函数极限lim x→0 e^x-x-1/x cos x lim(e^(x^2)-1)/(cosx-1) ,x→0的极限为什么是-2 二元函数求极限问题lim[﹙2-e^xy﹚^1/2]-1=lim1/2(1-e^xy)(x,y)→(0,0) (x,y) 用洛必塔法则求极限lim x趋于0 e^(sinx)-e^x/sinx-x 这个极限为什么等于1呢? 函数求极限 lim[(1+x)^(1/x)-e]/x x→无穷函数求极限 lim[(1+x)^(1/x)-e]/x x趋向于0 极限公式 lim(1+1/x)^x=e x->∞ lim(1+x)^(1/x)=e x->0 高数极限,因为lim(1+1\n)^n=e,那么e^x=lim 求lim x→0时(2+e^ 1/x / 1+ e^ 4/x + sin x / |x| )的极限...