已知函数f(x)=(2a+1)/a-1/(a^2x),常数a>0
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 01:29:19
已知函数f(x)=(2a+1)/a-1/(a^2x),常数a>0
1)设m*n>0证明:函数在[m,n]上单调递增(已求证)
2)设0
1)设m*n>0证明:函数在[m,n]上单调递增(已求证)
2)设0
(1)∵f(x)= (2a+1)/a-1/a²x =(-1/a²)/x+(2a+1)/a 且a>0
∴1/a²>0 ∴-1/a²<0
(这题类似反比例函数y=k/x,k≠0相当于k=-1/a²)
∵反比例函数y=(-1/a²)/x在[m,n]为增函数.(画出图像即可)
又f(x)的单调性与反比例函数y的单调性相同.
∴函数f(x)在[m,n]上单调递增.
(2)∵f(x)的定义域和值域都是[m,n],(0<m<n)
由(1)知,f(x)= (-1/a²)/x+(2a+1)/a ,(a>0)在区间[m,n]上为增函数.
∴f(x)min=f(m)=(-1/a²)/m+(2a+1)/a =m ,①
∴f(x)max=f(n)=(-1/a²)/n+(2a+1)/a =n,②
结合题意,又由①②知,对于方程(-1/a²)/x+(2a+1)/a = x有两个相异正实根m,n.
即:方程x²-[(2a+1)/a )]x+1/a²= 0有两个异正实根m,n.
∴判别式Δ=[(2a+1)/a )]²-4•1•1/a²>0
即:[(2a+1)²-4]/a²>0
(2a+1)²-4>0,
∴(2a-1)•(2a+3)>0
∴a<-3/2 或a>1/2 ,又a>0 ∴a>1/2
由韦达定理得:m+n =(2a+1)/a =2+1/a>0 ③
m•n=1/a²>0 ④
显然③④对于a>1/2时成立.
∴a>1/2
(n-m)²=(n+m)²-4mn=(2+1/a)²-4/a²=-3/a²+4/a+4
=-3(1/a-2/3)²+16/3
∵0
∴1/a²>0 ∴-1/a²<0
(这题类似反比例函数y=k/x,k≠0相当于k=-1/a²)
∵反比例函数y=(-1/a²)/x在[m,n]为增函数.(画出图像即可)
又f(x)的单调性与反比例函数y的单调性相同.
∴函数f(x)在[m,n]上单调递增.
(2)∵f(x)的定义域和值域都是[m,n],(0<m<n)
由(1)知,f(x)= (-1/a²)/x+(2a+1)/a ,(a>0)在区间[m,n]上为增函数.
∴f(x)min=f(m)=(-1/a²)/m+(2a+1)/a =m ,①
∴f(x)max=f(n)=(-1/a²)/n+(2a+1)/a =n,②
结合题意,又由①②知,对于方程(-1/a²)/x+(2a+1)/a = x有两个相异正实根m,n.
即:方程x²-[(2a+1)/a )]x+1/a²= 0有两个异正实根m,n.
∴判别式Δ=[(2a+1)/a )]²-4•1•1/a²>0
即:[(2a+1)²-4]/a²>0
(2a+1)²-4>0,
∴(2a-1)•(2a+3)>0
∴a<-3/2 或a>1/2 ,又a>0 ∴a>1/2
由韦达定理得:m+n =(2a+1)/a =2+1/a>0 ③
m•n=1/a²>0 ④
显然③④对于a>1/2时成立.
∴a>1/2
(n-m)²=(n+m)²-4mn=(2+1/a)²-4/a²=-3/a²+4/a+4
=-3(1/a-2/3)²+16/3
∵0
已知函数f(x)=(2a+1)/a-1/(a^2x),常数a>0
已知函数f(x)=lg[a^x-(1/2)^x](a>0,a≠1,a为常数)
已知函数f(x)=((2a+1)/a)-(1/(xa^2)),常数a>0
已知函数f(x)=(2a+1/a-(1/a^2x),常数a>0,设0
已知函数f(x)=(2a+1)/a -1/((a^2)x),常数a>0.设0
已知函数f(x)=2a+1/a-1/a^2x,常数a>0
已知函数f﹙x﹚=(2a+1/a)-(1/a²x),常数a>0
已知函数f(x)=a(x-1)/x-2,a为常数.
已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-2x/x+2
已知函数f(x)=x^2+a/x(x≠0,常数a∈R).
已知函数f(x)=ax^2-x+2a-1(a为实常数)
已知函数f(x)=ax^2-|x|+2a-1(a为实常数)