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如图 在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=3,E 、F分别是AB、CD的中点.设P是AD上一点,∠PFB=3∠FBC,

来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/04 17:39:32
如图 在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=3,E 、F分别是AB、CD的中点.设P是AD上一点,∠PFB=3∠FBC,求线段AP的长.
如图 在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=3,E 、F分别是AB、CD的中点.设P是AD上一点,∠PFB=3∠FBC,
原题应为：已知：如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,E、F分别是AB、CD的中点．
（1）在边AD上取一点M,使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N,求证：四边形ANGM是菱形；
（2）设P是AD上一点,∠PFB=3∠FBC,求线段AP的长．
考点：菱形的判定；矩形的性质
．专题：计算题；证明题．
分析：（1）设AG交MN于O,由题意易得AO=GO,AG⊥MN,要证四边形ANGM是菱形,还需证明OM=ON,又可证明AD‖EF‖BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1,∴MO=NO；
（2）连接AF,由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF,∴PA=PF,∴PA= 根号（DF的平方+PD的平方）=根号【1-（3-PA）的平方】,求得PA=3分之5 ．
（1）证明：设AG交MN于O,则
∵A、G关于BM对称,
∴AO=GO,AG⊥MN．
∵E、F分别是矩形ABCD中AB、CD的中点,
∴AE=BE,AE‖DF且AE=DF,
∴AD‖EF‖BC．
∴MO：ON=AO：OG=1：1．
∴MO=NO．
∴AG与MN互相平分且互相垂直．
∴四边形ANGM是菱形．
（2）连接AF,
∵AD‖EF‖BC,
∴∠PAF=∠AFE,∠EFB=∠FBC．
又EF⊥AB,AE=BE,
∴AF=BF,
∴∠AFE=∠EFB．
∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC．
∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC．
∴∠PFA=∠FBC=∠PAF．
∴PA=PF．
∴PA= 根号（DF的平方+PD的平方）=根号【1-（3-PA）的平方】.
∴PA=3分之5 ．
点评：本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
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如图 在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=3,E 、F分别是AB、CD的中点.设P是AD上一点,∠PFB=3∠FBC, 如图,矩形ABCD中AB=2,AD=3.E、F分别是AB、CD的中点.设P为AD上一点,角PFB=3角FBC,你能求出A 如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,EF分别是AB,CD的中点,设P为AD上一点,∠PFB=3∠FBC,你能求出A 如图,已知矩形ABCD中,AB=2AD,E是CD上一点,且AE=AB 如图,在矩形ABCD中,已知AD=1.5,AB=3,E,F,G,H,分别是AD,AB,BC,CD上的点,若AE=AF=C 如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,若AB=2,AD 已知：如图,正方形ABCD中,E是AB的中点,∠CEF=∠ECD,F在CD的延长线,EF交AD于P 已知ABCD是矩形,AD=2AB,E,F分别是AB,AC的中点,PA垂直于平面ABCD在棱PA上找一点G使EG//平面P 如图,已知在平行四边形ABCD中,∠B=60°,E,F分别是AB,CD的中点,AB=2AD,求证:AC=根号3EF 如图,已知:在平行四边形ABCD中,∠C=60°,E,F分别是AB,CD的中点,且AB=2AD.求证：DE:BD=根号3 如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,E是CD上一点,AE,BE分别平分∠DAB和∠CBA,F是AB的中点. 如图,E、F分别是矩形ABCD中AD、CD边上的点,AB=AE=2/3AD=4,