已知函数f(x)=(a−12)x2+lnx.(a∈R)
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/02 08:52:30
已知函数f(x)=(a−
)x
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解(Ⅰ)当a=1时,f(x)=
1
2x2+lnx,f′(x)=x+
1
x=
x2+1
x.
对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数.
∴fmax(x)=f(e)=1+
e2
2,fmin(x)=f( 1 )=
1
2
(Ⅱ)令g(x)=f(x)−2ax=(a−
1
2)x2−2ax+lnx,则g(x)的定义域为(0,+∞).
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
∵g′(x)=(2a−1)x−2a+
1
x=
(2a−1)x2−2ax+1
x=
(x−1)[(2a−1)x−1]
x.
①若a>
1
2,令g'(x)=0,得极值点x1=1,x2=
1
2a−1.
当x2>x1=1,即
1
2<a<1时,在(x2,+∞)上有g'(x)>0.
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
1
2,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g'(x)<0.
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=−a−
1
2≤0⇒a≥−
1
2.
由此求得a的范围是[−
1
2,
1
2].
综合①②可知,当a∈[−
1
2,
1
2]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.
1
2x2+lnx,f′(x)=x+
1
x=
x2+1
x.
对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数.
∴fmax(x)=f(e)=1+
e2
2,fmin(x)=f( 1 )=
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(Ⅱ)令g(x)=f(x)−2ax=(a−
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2)x2−2ax+lnx,则g(x)的定义域为(0,+∞).
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
∵g′(x)=(2a−1)x−2a+
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x=
(2a−1)x2−2ax+1
x=
(x−1)[(2a−1)x−1]
x.
①若a>
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2,令g'(x)=0,得极值点x1=1,x2=
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2a−1.
当x2>x1=1,即
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2<a<1时,在(x2,+∞)上有g'(x)>0.
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
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2,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g'(x)<0.
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=−a−
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2≤0⇒a≥−
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2.
由此求得a的范围是[−
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2,
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2].
综合①②可知,当a∈[−
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2,
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2]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.
已知函数f(x)=(a−12)x2+lnx.(a∈R)
(2013•梅州一模)已知函数f(x)=(a−12)x2+lnx(a∈R).
已知函数f(x)=a(x2+1)+x−1x−lnx(a∈R).
已知函数f(x)=x2-lnx-ax,a∈R.
已知函数f(x)=lnx+x2-ax,a∈R.
(2014•市中区二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2014•烟台二模)已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
已知函数f(x)=−2a2lnx+12x2+ax(a∈R).
(2011•杭州二模)已知函数f(x)=12x2+(a−3)x+lnx.
已知函数f(x)=ax+lnx−1,a∈R.
已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R