百度作业网坑爹的数学证明题,求解啊!
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 07:48:03
坑爹的数学证明题,求解啊!
1）如图（1）,△ABC是等腰三角形,其中AB=AC,AF是△ABC中BC边上的中线,G是AF上一动点,连接BG、CG并延长,分别交AC、AB与点E、D,连接DE,求证 DE // BC.
2）如图（2）,△ABC为任意三角形,其它条件不变,（1）中的结论仍然成立吗?如果成立,请给出证明.如果不成立,请说明理由.
3）如图（3）,当点D、E在AB、AC的延长线（或反向延长线）上时,直接写出BC与DE的位置关系.
4）通过以上证明,请写出一条关于三角形的一般化的定理.
这道题是塞瓦(Ceva)定理的简单推论:
由AF, BE, CD共点, 根据Ceva定理, 有AE/EC·CF/FB·BD/DA = 1.
而BF = FC, 故AE/EC = AD/DB, 于是DE // BC.
Ceva定理的证明也不难.
注意到△ABG与△BCG同底(BG), 故面积比S△ABG:S△BCG = A到BG的距离:C到BG的距离.
另一方面, 由△ABE与△BCE同底(BE), 有S△ABE:S△BCE = A到BG的距离:C到BG的距离.
即得S△ABG:S△BCG = S△ABE:S△BCE.
又△ABE与△BCE同高(以B为顶点), 得S△ABE:S△BCE = AE:EC.
于是S△ABG/S△BCG = AE/EC.
同理, S△BCG/S△CAG = BD/DA, S△CAG/S△ABG = CF/FB.
三式相乘即得AE/EC·CF/FB·BD/DA = 1.
有疑问请追问.
再问： 你好，感谢你的回答，能不能详细写一下证明过程呢，如果不好打字，写在纸上π拍下来也行
再答： 不好意思, 回答的有点迟.证明如下(原图).
注: 我不记得"三角形相似预备定理逆定理"是不是在课本中正式讲过.
如果不能直接用, 也可以选择证明△ADE与△ABC相似, 再证明DE与BC平行.
由AF, BE, CD共点, 根据Ceva定理, 有AE/EC·CF/FB·BD/DA = 1.
而BF = FC, 故AE/EC = AD/DB, 于是DE // BC.
Ceva定理的证明也不难.
注意到△ABG与△BCG同底(BG), 故面积比S△ABG:S△BCG = A到BG的距离:C到BG的距离.
另一方面, 由△ABE与△BCE同底(BE), 有S△ABE:S△BCE = A到BG的距离:C到BG的距离.
即得S△ABG:S△BCG = S△ABE:S△BCE.
又△ABE与△BCE同高(以B为顶点), 得S△ABE:S△BCE = AE:EC.
于是S△ABG/S△BCG = AE/EC.
同理, S△BCG/S△CAG = BD/DA, S△CAG/S△ABG = CF/FB.
三式相乘即得AE/EC·CF/FB·BD/DA = 1.
有疑问请追问.
再问： 你好，感谢你的回答，能不能详细写一下证明过程呢，如果不好打字，写在纸上π拍下来也行
再答： 不好意思, 回答的有点迟.证明如下(原图).
注: 我不记得"三角形相似预备定理逆定理"是不是在课本中正式讲过.如果不能直接用, 也可以选择证明△ADE与△ABC相似, 再证明DE与BC平行.