泰勒中值定理的余项R(x),中ξ为什么不是X.为什么余项要用柯西中值定理推出来?

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 22:38:00

Taylor公式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+...+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+Rn(x-x0)(*)
其中Rn(x-x0)=f^(n+1)(ξ)(x-x0)^(n+1)/(n+1)!(#)
其余项R(x)的形式之所以这样,是因为有这样的一个定理：
设f(x)在[a,b]上n次连续可导且在(a,b)内n+1次可导,则对任何x,x0∈[a,b],都有(*)式成立,且(#)式成立,其中ξ介于x和x0之间.
证明如下
证明：
作辅助函数
φ(t)=f(x)-Σ[k=0,n]f^(k)(t)(x-t)^k/k!
于是φ(t)在[x,x0]或[x0,x]连续,在(x,x0)或(x0,x)可导,且有φ(x0)=Rn(x-x0),φ(x)=0,
φ'(t)=-f'(t)-Σ[k=1,n](1/k!)*[f^(k+1)(t)(x-t)^k-f^(t)k(x-t)^(k-1)]
=-Σ[k=0,n]f^(k+1)(t)(x-t)^k/k!+Σ[k=1,n]f^(k)(t)(x-t)^(k-1)/(k-1)!
=-f^(n+1)(t)(x-t)^n/n!
再令
ψ(t)=(x-t)^(n+1),
于是ψ(x0)=(x-x0)^(n+1),ψ(x)=0.
从而由柯西中值定理知,存在ξ介于x到x0之间,使得
Rn(x-x0)/(x-x0)^(n+1)=[φ(x0)-φ(x)]/[ψ(x0)-ψ(x)]
=φ'(ξ)/ψ'(ξ)=[(-1/n!)f^(n+1)(x-ξ)^n]/[-(n+1)(x-ξ)^n]
=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!
由此即得到(*)式
从证明的过程中不难发现,欲证等式中含有元素Rn(x-x0),(x-x0)^(n+1),f^(n+1)(ξ),(n+1)!
运用辅助函数法和柯西中值定理,是为了拼凑出含有这些元素的等式关系.

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