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已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数最小值

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 12:58:06
已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数最小值,及m,n值.
已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数最小值
∵f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为
C1m•2x+
C1n•4x=(2m+4n)x,
∵f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,
∴m+2n=18,
∴f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x2的项的系数为t=
C2m•22+
C2n•42=2m2-2m+8n2-8n,
∵m+2n=18,
∴m=18-2n,
∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612
=16(n2-
37
4n+
153
4),
∴当n=
37
8时,t取最小值,但n∈N*
∴n=5时t最小,即x2项的系数最小,最小值为272,此时n=5,m=8.