百度作业网函数在生活中的运用多多益善
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 11:25:05
函数在生活中的运用
多多益善
多多益善
实际生活中的应用问题
1、 商品定价问题
例1 某种品牌的彩电降价30%以后,每台售价为a元,则该品牌的彩电每台原价为
2、 商品降价问题
例2 某商品进价是1000元,售价是1500元.由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润为5% ,求商店应降价多少元出售.
3、 存款利率问题
例3 国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20% ,储户取款时由银行代扣代收.若银行一年定期储蓄的年利率为2.25% ,某储户取出一年到期的本金及利息时,扣除了利息税36元,则银行向该储户支付的现金是多少元?
4、 支付稿酬问题
例4 国家规定个人发表文章或出书获得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的,不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应交超过800元那一部分稿费的14% 的税；（3）稿费高于4000元的应交全部稿费的11% 的税.王老师曾获得一笔稿费,并交税280元,算一算王老师这笔稿费是 元.
5、 股票问题
例5 下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价（每天交易结束时的价格）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
甲 12 12.5 12.9 12.45 12.75
乙 13.5 13.3 13.9 13.4 13.75
某人在该周内持有若干甲、乙两种股票,若按两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等）,该人帐户上星期二比星期一多获利200元,星期三比星期二多获利1300元,试问该人持有甲、乙两种股票各多少股?
6、 人员考核问题
例6 某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定：每道题的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分.已知某人有5道题未作,得了103分,问这人选错了多少道题?
7、 货物运费问题
例7 一批货物要运往某地,货主准备租用运输公司得甲、乙两种货车,已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数 2 5
乙种货车辆数 3 6
累计运货吨数 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车,一次刚好运完这批货物.如果按每吨付运费30元计算,问货主应付运费多少元?
8、 小康生活问题
例8 改革开放以来,某镇通过多种途径发展地方经济.1995年该镇国民生产总值2亿元.根据测算,该镇年国民生产总值为5亿元,可达到小康水平.若从1996年开始,该镇年国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元,该镇经过几年可达到小康水平?
9、 校舍建设问题
例9 光明中学现有校舍面积20000平方米,为改善办学条件,计划拆除部分旧校舍,建造新校舍,使新建校舍的面积是拆除旧校舍的3倍还多1000平方米.这样,计划完成后的校舍总面积可比现有校舍面积增加20% .已知拆除旧校舍每平方米需费用80元,建造新校舍每平方米需费用700元,问完成该计划需多少费用?
10、水资源问题
例10 某地现有人口500万,水资源120亿米 .若该地人口每年增加4万,水资源每年减少1.2亿米 .试问：经过多少年后,每万人拥有的水资源是0.2亿米 ?
11、水土流失问题
例11 目前,包括长江、黄河等七大流域在内,全国水土流失面积达到367万平方千米,其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的32.4% ,而长江流域的水土流失问题更为严重,它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米,问长江流域的水土流失面积是多少?
12、飞机票价问题
例12 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带20千克行李,超重部分每千克按飞机票价的1.5% 购买行李票.现该旅客购了120元的行李票,则他的飞机票价应是多少元?
其他实例1
【例1】《中华人民共和国所得税法》规定,公民全月工资,薪金所得不超过800元的部分不纳税,超过800元的 为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:
全月应纳税所得额
税率
不超过500的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
……
……
某人一月份应交纳此项款26.78元,则他们当月工资,薪金所得等于( )
A 800～900元 B 900～1200元 C 1200～1500元 D 1500～2800元
分析:本题的关键词语为"全月应纳税所得额
解:由表格可知全月应纳税所得额为500元时应纳税500×5%=25(元)
由题可知某人一月份纳税26.78元,26.78-25=1.78(元)为超过500元的全月应纳税所得额所上交纳款,依表格这部分薪金所得为1.78÷10%=17.8元,故此月份工资为800+500+17.8
=1317.8元 故选C
【例2】对任意实数规定取,三个值的最小值
⑴求与的函数关系,并画出函数的图象
⑵为何值时最大 最大值是多少
解:⑴在同一坐标系中,分别画出系数,的图象,如图所示,易得A(1,2) B (3,1) 故与的函数关系为
图象为图中实线部分
⑵ 由图可知当时,
【例3】某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得出,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图⑴的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市场时间的关系用图⑵的抛物线段表示
图(2)
⑴写出图⑴表示的市场售价与时间t的函数关系式,写出图⑵表示的种植成本与时间t的函数关系式
⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大
注意:市场售价和种植成本的单位:元/,时间单位:天
解:⑴由图⑴可得市场售价与时间的函数关系为:
由图⑵可得种植成本与时间的函数关系为,
⑵设t时刻纯收益为,则题意可得: 即
当时,配方整理得:
所以当时,取得区间上的最大值100
当时,配方整理得:
所以当,取得区间上的最大值87.5
综上述,由100>87.5可知在区间上可以取得最大值100,此时,那么二月一日开始的第50天时,西红柿收益最大
【例4】解不等式
分析:由于对数函数的单调性与底数的取值范围有关,因此充分和两种情形讨论该不等式的解集,其次 对数符号时,应注意真数大于0
解:为了使不等式有解,须且
⑴当时,有 得
∵ ∴从而得
⑵当时,有 得
∴ ∵ ∴
综上,当时,不等式的解集为
当时,不等式的解集为
【例5】已知函数的定义域为实数集R,求实数P的取值范围
分析:本题是对数函数与二次函数的复合函数的问题,定义域为R即可化为真数大于0恒成立
解:因的定义域为R,故,对恒成立
即解得
由此得P的取值范围是
【例6】某工厂今年1月,2月,3月生产某产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了估计以后每月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量,与月份的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数(,为常数)已知四月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作模拟函数较好 说明理由
解:设二次函数为由已知得
解之得
所以,当时,
又对函数由已知得 解之得
∴ 当时,
根据四月份的实际产量为1.37万元,而
所以函数作模拟函数较好
其他实例2
[例1]A地产汽油,B地需要汽油,汽车直接从A地往B地运汽油,往返所需要的油耗正好等于其满载汽油的吨数,故无法直接将汽油运到B地.今在途中C地设一中转站油库,先由往返于C,B之间的汽车将汽油运至C地,然后由往返于C,B之间的汽车将汽油运至B地,且各辆车往返油耗从各自所载汽油中扣除.
设,问当d等于多少时,运油率
根据B地的需要,总共投入15辆运油车运油,此时又将怎样组织运输
[解析]题中P是d的函数,但由于问题涉及的量比较多,应该设好辅助参数,
设往返于A,C间的汽车有x辆,往返于
C,B间的汽车有y辆,每辆运油a吨,则
①A地运出的油为ax吨,
②C库收到的油为吨,
③C库运出的油为吨,
④B地得到的油为吨,
为使B地得到尽量多的汽油,则C库收到的汽油应及时全部运出,
故,油库C应设在AB的中点处才能使运油率最大,且往返于A,C之间的运油车为10辆,往返于C,B之间的运油车为5辆.
[评析]在例1的解答中,抓住②,④两个等量关系是建立函数关系的关键.
[例2]在边防沙漠地带巡逻车每天巡逻,每辆巡逻车可以装载供行驶2800公里的汽油.现有5辆巡逻车,同时从驻地出发,完成任务后再沿原路返回驻地,为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回驻地),甲,乙两车行驶至B处后,仅留足自己返回驻地所必需的汽油,将多余的汽油供给另外三辆车使用.
求另外3辆车可行驶的最远距离是(距驻地)多少公里
[解析]因为另外3辆车行驶的距离是随着B地(距驻地)的距离的变化而变化,所以应将另外3辆车行驶的距离y看作B地离驻地的距离x的函数.
作出一个行程示意图(其中A表示驻地,C是另
3辆车到达的最远处),很容易看出甲,乙两车共来回走
了4个"x"公里,另外三辆车来回共走了6个"y",
根据命题分析,应抓住"耗油量"与"载油量"这两个关键量来建模,
为达到最远,五辆车返回驻地时所载的汽油应全部耗尽,∴五辆车的总行程为
2800×5公里,
但不能忘了考察函数的定义域,应抓住"载油量",
巡逻车行驶至B处后,另外三辆从甲,乙两车得到的汽油与自己油箱内剩余的油的总
和不能超过油箱的载油量,
在定义域内为减函数,∴
[评析]在命题的解题过程中,由于采用了图示,加快了阅读理解的速度,而更关键的是抓住了两个相等关系分别建立了函数的解析式与求得函数的定义域,在函数模型时又抓住了单调性.
[例3]鱼场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量. 已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率立方的乘积成正比,比例系数为k(k>0),(注:空闲率为空闲量与最大养殖量的比值),
(1)写出y关于x的函数关系式,并求出这个函数的最大值;
(2)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
[解析](1)∵x(吨)为实际养殖量,∴空闲量为(吨),∴空闲率为
且的值在处左正右负,
(另解)
等号成立时,
(2)∵实际养殖量与增长量的和不能超过最大养殖量,
[评析]准确理解问题中的每个概念的意思是建立函数模型的关键,特别是对问题中出现的新"词汇"要揣摩透它的确切意义.
[例4]20个劳力种50亩地,这些地可种蔬菜,棉花和水稻,如果种这些作物,每亩所需劳力和预计的产值如表所示:
作物
每亩需劳力
每亩预计产值
蔬菜
0.6万元
棉花
0.5万元
水稻
0.3万元
问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有劳力都有工作,而且农作物预计产值最
高
[解析]设种植蔬菜x亩,棉花y亩,水稳z亩,
∴总产值①,
解得①得
即②,
∴由②知,当最大,
,即蔬菜种20亩,棉花种30亩,水稻种0亩.
1、 商品定价问题
例1 某种品牌的彩电降价30%以后,每台售价为a元,则该品牌的彩电每台原价为
2、 商品降价问题
例2 某商品进价是1000元,售价是1500元.由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润为5% ,求商店应降价多少元出售.
3、 存款利率问题
例3 国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20% ,储户取款时由银行代扣代收.若银行一年定期储蓄的年利率为2.25% ,某储户取出一年到期的本金及利息时,扣除了利息税36元,则银行向该储户支付的现金是多少元?
4、 支付稿酬问题
例4 国家规定个人发表文章或出书获得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的,不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应交超过800元那一部分稿费的14% 的税；（3）稿费高于4000元的应交全部稿费的11% 的税.王老师曾获得一笔稿费,并交税280元,算一算王老师这笔稿费是 元.
5、 股票问题
例5 下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价（每天交易结束时的价格）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
甲 12 12.5 12.9 12.45 12.75
乙 13.5 13.3 13.9 13.4 13.75
某人在该周内持有若干甲、乙两种股票,若按两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等）,该人帐户上星期二比星期一多获利200元,星期三比星期二多获利1300元,试问该人持有甲、乙两种股票各多少股?
6、 人员考核问题
例6 某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定：每道题的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分.已知某人有5道题未作,得了103分,问这人选错了多少道题?
7、 货物运费问题
例7 一批货物要运往某地,货主准备租用运输公司得甲、乙两种货车,已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数 2 5
乙种货车辆数 3 6
累计运货吨数 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车,一次刚好运完这批货物.如果按每吨付运费30元计算,问货主应付运费多少元?
8、 小康生活问题
例8 改革开放以来,某镇通过多种途径发展地方经济.1995年该镇国民生产总值2亿元.根据测算,该镇年国民生产总值为5亿元,可达到小康水平.若从1996年开始,该镇年国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元,该镇经过几年可达到小康水平?
9、 校舍建设问题
例9 光明中学现有校舍面积20000平方米,为改善办学条件,计划拆除部分旧校舍,建造新校舍,使新建校舍的面积是拆除旧校舍的3倍还多1000平方米.这样,计划完成后的校舍总面积可比现有校舍面积增加20% .已知拆除旧校舍每平方米需费用80元,建造新校舍每平方米需费用700元,问完成该计划需多少费用?
10、水资源问题
例10 某地现有人口500万,水资源120亿米 .若该地人口每年增加4万,水资源每年减少1.2亿米 .试问：经过多少年后,每万人拥有的水资源是0.2亿米 ?
11、水土流失问题
例11 目前,包括长江、黄河等七大流域在内,全国水土流失面积达到367万平方千米,其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的32.4% ,而长江流域的水土流失问题更为严重,它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米,问长江流域的水土流失面积是多少?
12、飞机票价问题
例12 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带20千克行李,超重部分每千克按飞机票价的1.5% 购买行李票.现该旅客购了120元的行李票,则他的飞机票价应是多少元?
其他实例1
【例1】《中华人民共和国所得税法》规定,公民全月工资,薪金所得不超过800元的部分不纳税,超过800元的 为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:
全月应纳税所得额
税率
不超过500的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
……
……
某人一月份应交纳此项款26.78元,则他们当月工资,薪金所得等于( )
A 800～900元 B 900～1200元 C 1200～1500元 D 1500～2800元
分析:本题的关键词语为"全月应纳税所得额
解:由表格可知全月应纳税所得额为500元时应纳税500×5%=25(元)
由题可知某人一月份纳税26.78元,26.78-25=1.78(元)为超过500元的全月应纳税所得额所上交纳款,依表格这部分薪金所得为1.78÷10%=17.8元,故此月份工资为800+500+17.8
=1317.8元 故选C
【例2】对任意实数规定取,三个值的最小值
⑴求与的函数关系,并画出函数的图象
⑵为何值时最大 最大值是多少
解:⑴在同一坐标系中,分别画出系数,的图象,如图所示,易得A(1,2) B (3,1) 故与的函数关系为
图象为图中实线部分
⑵ 由图可知当时,
【例3】某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得出,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图⑴的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市场时间的关系用图⑵的抛物线段表示
图(2)
⑴写出图⑴表示的市场售价与时间t的函数关系式,写出图⑵表示的种植成本与时间t的函数关系式
⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大
注意:市场售价和种植成本的单位:元/,时间单位:天
解:⑴由图⑴可得市场售价与时间的函数关系为:
由图⑵可得种植成本与时间的函数关系为,
⑵设t时刻纯收益为,则题意可得: 即
当时,配方整理得:
所以当时,取得区间上的最大值100
当时,配方整理得:
所以当,取得区间上的最大值87.5
综上述,由100>87.5可知在区间上可以取得最大值100,此时,那么二月一日开始的第50天时,西红柿收益最大
【例4】解不等式
分析:由于对数函数的单调性与底数的取值范围有关,因此充分和两种情形讨论该不等式的解集,其次 对数符号时,应注意真数大于0
解:为了使不等式有解,须且
⑴当时,有 得
∵ ∴从而得
⑵当时,有 得
∴ ∵ ∴
综上,当时,不等式的解集为
当时,不等式的解集为
【例5】已知函数的定义域为实数集R,求实数P的取值范围
分析:本题是对数函数与二次函数的复合函数的问题,定义域为R即可化为真数大于0恒成立
解:因的定义域为R,故,对恒成立
即解得
由此得P的取值范围是
【例6】某工厂今年1月,2月,3月生产某产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了估计以后每月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量,与月份的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数(,为常数)已知四月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作模拟函数较好 说明理由
解:设二次函数为由已知得
解之得
所以,当时,
又对函数由已知得 解之得
∴ 当时,
根据四月份的实际产量为1.37万元,而
所以函数作模拟函数较好
其他实例2
[例1]A地产汽油,B地需要汽油,汽车直接从A地往B地运汽油,往返所需要的油耗正好等于其满载汽油的吨数,故无法直接将汽油运到B地.今在途中C地设一中转站油库,先由往返于C,B之间的汽车将汽油运至C地,然后由往返于C,B之间的汽车将汽油运至B地,且各辆车往返油耗从各自所载汽油中扣除.
设,问当d等于多少时,运油率
根据B地的需要,总共投入15辆运油车运油,此时又将怎样组织运输
[解析]题中P是d的函数,但由于问题涉及的量比较多,应该设好辅助参数,
设往返于A,C间的汽车有x辆,往返于
C,B间的汽车有y辆,每辆运油a吨,则
①A地运出的油为ax吨,
②C库收到的油为吨,
③C库运出的油为吨,
④B地得到的油为吨,
为使B地得到尽量多的汽油,则C库收到的汽油应及时全部运出,
故,油库C应设在AB的中点处才能使运油率最大,且往返于A,C之间的运油车为10辆,往返于C,B之间的运油车为5辆.
[评析]在例1的解答中,抓住②,④两个等量关系是建立函数关系的关键.
[例2]在边防沙漠地带巡逻车每天巡逻,每辆巡逻车可以装载供行驶2800公里的汽油.现有5辆巡逻车,同时从驻地出发,完成任务后再沿原路返回驻地,为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回驻地),甲,乙两车行驶至B处后,仅留足自己返回驻地所必需的汽油,将多余的汽油供给另外三辆车使用.
求另外3辆车可行驶的最远距离是(距驻地)多少公里
[解析]因为另外3辆车行驶的距离是随着B地(距驻地)的距离的变化而变化,所以应将另外3辆车行驶的距离y看作B地离驻地的距离x的函数.
作出一个行程示意图(其中A表示驻地,C是另
3辆车到达的最远处),很容易看出甲,乙两车共来回走
了4个"x"公里,另外三辆车来回共走了6个"y",
根据命题分析,应抓住"耗油量"与"载油量"这两个关键量来建模,
为达到最远,五辆车返回驻地时所载的汽油应全部耗尽,∴五辆车的总行程为
2800×5公里,
但不能忘了考察函数的定义域,应抓住"载油量",
巡逻车行驶至B处后,另外三辆从甲,乙两车得到的汽油与自己油箱内剩余的油的总
和不能超过油箱的载油量,
在定义域内为减函数,∴
[评析]在命题的解题过程中,由于采用了图示,加快了阅读理解的速度,而更关键的是抓住了两个相等关系分别建立了函数的解析式与求得函数的定义域,在函数模型时又抓住了单调性.
[例3]鱼场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量. 已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率立方的乘积成正比,比例系数为k(k>0),(注:空闲率为空闲量与最大养殖量的比值),
(1)写出y关于x的函数关系式,并求出这个函数的最大值;
(2)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
[解析](1)∵x(吨)为实际养殖量,∴空闲量为(吨),∴空闲率为
且的值在处左正右负,
(另解)
等号成立时,
(2)∵实际养殖量与增长量的和不能超过最大养殖量,
[评析]准确理解问题中的每个概念的意思是建立函数模型的关键,特别是对问题中出现的新"词汇"要揣摩透它的确切意义.
[例4]20个劳力种50亩地,这些地可种蔬菜,棉花和水稻,如果种这些作物,每亩所需劳力和预计的产值如表所示:
作物
每亩需劳力
每亩预计产值
蔬菜
0.6万元
棉花
0.5万元
水稻
0.3万元
问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有劳力都有工作,而且农作物预计产值最
高
[解析]设种植蔬菜x亩,棉花y亩,水稳z亩,
∴总产值①,
解得①得
即②,
∴由②知,当最大,
,即蔬菜种20亩,棉花种30亩,水稻种0亩.