已知p(x0,y0)是函数f(x)=lnx图像上一点,过点p的切线与x轴交于B,过点p作x轴的垂线,垂足为A,求点B的坐
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 11:40:39
已知p(x0,y0)是函数f(x)=lnx图像上一点,过点p的切线与x轴交于B,过点p作x轴的垂线,垂足为A,求点B的坐标
(2)若x0属于(0,1),求△PAB的面积S的最大值,并求此时X0的值
(2)若x0属于(0,1),求△PAB的面积S的最大值,并求此时X0的值
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第一个问题:
∵f(x)=lnx,∴求导数,得:f′(x)=1/x,∴过点(x0,y0)的切线的斜率=1/x0.
设点B的坐标为(m,0),则(y0-0)/(x0-m)=1/x0,∴x0y0=x0-m,∴m=x0-x0y0.
即点B的坐标是(x0-x0y0,0).
第二个问题:
∵P的坐标是(x0,y0),又PA⊥x轴,∴A的坐标是(x0,0).
显然,|AB|=|(x0-x0y0)-x0|=|x0y0|, |PA|=|y0|.
∴△PAB的面积S=(1/2)|AB||PA|=(1/2)|x0y0||y0|=(1/2)x0y0^2.
自然,有:y0=lnx0, ∴S=(1/2)x0(lnx0)^2.
求导数,得:
S′=(1/2)(lnx0)^2+(1/2)x0(2lnx0)(1/x0)=(1/2)(lnx0)^2+lnx0.
S″=lnx0(1/x0)+1/x0.
令S′=0,得:(1/2)(lnx0)^2+lnx0=0.
∵x0∈(0,1),∴inx0<0,∴方程(1/2)(lnx0)^2+lnx0=0两边同除以lnx0,得:
(1/2)lnx0+1=0,∴lnx0=-2,∴x0=e^(-2)=1/e^2.
此时,S″=lnx0(1/x0)+1/x0=-2[1/e^(-2)]+1/e^(-2)<0.
∴当x0=e^(-2)时,S取得最大值.
此时S=(1/2)[e^(-2)][lne^(-2)]^2=(1/2)×(-2)^2/e^2=2/e^2.
即:当x0=1/e^2时,△PAB的面积最大,且最大值是2/e^2.
∵f(x)=lnx,∴求导数,得:f′(x)=1/x,∴过点(x0,y0)的切线的斜率=1/x0.
设点B的坐标为(m,0),则(y0-0)/(x0-m)=1/x0,∴x0y0=x0-m,∴m=x0-x0y0.
即点B的坐标是(x0-x0y0,0).
第二个问题:
∵P的坐标是(x0,y0),又PA⊥x轴,∴A的坐标是(x0,0).
显然,|AB|=|(x0-x0y0)-x0|=|x0y0|, |PA|=|y0|.
∴△PAB的面积S=(1/2)|AB||PA|=(1/2)|x0y0||y0|=(1/2)x0y0^2.
自然,有:y0=lnx0, ∴S=(1/2)x0(lnx0)^2.
求导数,得:
S′=(1/2)(lnx0)^2+(1/2)x0(2lnx0)(1/x0)=(1/2)(lnx0)^2+lnx0.
S″=lnx0(1/x0)+1/x0.
令S′=0,得:(1/2)(lnx0)^2+lnx0=0.
∵x0∈(0,1),∴inx0<0,∴方程(1/2)(lnx0)^2+lnx0=0两边同除以lnx0,得:
(1/2)lnx0+1=0,∴lnx0=-2,∴x0=e^(-2)=1/e^2.
此时,S″=lnx0(1/x0)+1/x0=-2[1/e^(-2)]+1/e^(-2)<0.
∴当x0=e^(-2)时,S取得最大值.
此时S=(1/2)[e^(-2)][lne^(-2)]^2=(1/2)×(-2)^2/e^2=2/e^2.
即:当x0=1/e^2时,△PAB的面积最大,且最大值是2/e^2.
已知p(x0,y0)是函数f(x)=lnx图像上一点,过点p的切线与x轴交于B,过点p作x轴的垂线,垂足为A,求点B的坐
已知fx=x^2(x-t)的图像与x轴交于A,B俩点,t>0,设函数y=f(x)在点p(x0,y0)处的切线的斜率为k,
平面直角坐标系xOy中,已知P是函数f(x)=e^x(x>0)图像的动点,设图像在p处切线L交y轴于M,过P作L得垂线交
直线L和反比例函数Y=K/X的图像交于A、B两点.P是线段AB上的点,(不与AB重合),过点ABP分别向X轴作垂线,
点P(3,a)是函数Y=-2/X图像上的一点,过点P分别作X轴和Y轴的垂线,两条垂线与坐标轴围成的矩形面积为S1;点Q(
点P(3,a)是函数y=-2/x图像上的一点,过点P分别作x轴和y轴的垂线,两条垂线与座标轴围成的矩形面积为S1;点Q(
如图,设抛物线C:x^2=4y的焦点为F,P(x0,y0)为抛物线上的任一点(x不等于0)过P点的切线交y轴于Q点.
已知正比例函数y=-3/2x与反比例函数的图像相交于点P,过点P作x轴的垂线交x轴于点A,S△POA=6则此反比例函数
如图,已知二次函数图像的顶点P为(0,-1),且过(2,3).点A是抛物线上一点,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B
如果p是函数y=e^x图像上一点,过p的切线交x轴与A,PA垂直于PB,B在x轴上,三角形OAB面积为1,求p坐标
已知反比例函数y=1/x的图像上有一个点P,过点P分别做X轴与Y轴的垂线,垂足分别为A.B,使四边形OAPB为正方形,有
如图,点P(-4,3)是双曲线Y=k1/x上一点,过点P作X轴Y轴的垂线,分别交x轴y轴于A,B两点,交双曲线Y=K2/