线性代数的特征根和特征向量的问题

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 07:26:42

线性代数的特征根和特征向量的问题
若λ0是k重根,则它对应的特征向量的个数能不能大于k?为什么?
说漏了，是线性无关的特征向量的个数。
不超过k是为什么？
为什么a是k重特征根的话，R(A-aE)就大于等于n-k?

1、若λ0是k重根,则它对应的特征向量的个数能不能大于k?为什么?
不能.
证明：假设a是A的k重特征值,但它对应的线性无关的特征向量有k+1个,则(aE-A)x=0的基础解系有k+1个线性无关的解向量,即(aE-A)X1+(aE-A)X2+...+(aE-A)Xk+(aE-A)Xk+1=0,所以A有k+1个特征值是a,即a是A的k+1重特征值,与假设矛盾,所以若λ0是k重根,则它对应的特征向量的个数不能大于k.
2、为什么a是k重特征根的话,R(A-aE)就大于等于n-k?
证明：由上题结论可知,a是k重特征根的话,它对应的线性无关的特征向量小于等于k个,则(aE-A)x=0的基础解系的向量个数小于等于k,即n-R(A-aE)

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