又一道关于线性代数的题目,

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 05:16:35

又一道关于线性代数的题目,
如图所示,不明白为什么由性质一可知|A*|=|A|^n|A^-1|=|A|^n-1

对A*=|A|A^-1两边取行列式得
||A|A^-1|=|A|^n|A^-1|
而|A^-1|=|A|^-1
所以|A*|=||A|A^-1|=|A|^n|A^-1|=|A|^n|A|^-1=|A|^n-1
一个是应用了矩阵行列式的性质,另一个是用了逆矩阵的行列式等于矩阵行列式的倒数
你评论中的第一个问题：设A是n阶方阵
|kA|=k^n|A|
证明：
ka11 ka12 ka13------------ka1n
ka21 ka22 ka23------------ka2n
kA= --------------------------------------
kan1 kan2 kan3------------kann
再取行列式的话,那么右边每一行中都能提取一个k,总共有n行,所以最终能提取n个k,即k^n
故|kA|=k^n|A|
其实关键就是要掌握：数乘以矩阵,那么矩阵中的每个元素都得乘以这个数；而数乘以行列式,则是行列式中的某一行（或某一列）中的每个元素都乘以该数
第二个问题：
|A^-1|=|A|^-1
证明：当A可逆时,有AA^-1=E
两边取行列式得| AA^-1|=| A| | A^-1| =| E| =1
由于 A可逆 ,则| A| 不等于0,那么对上式移项即得
|A^-1|=|A|^-1

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