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（2013•唐山二模）函数f(x)＝2sinπx−3x−x2所有零点的和等于（　　）

来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/13 07:54:56
（2013•唐山二模）函数f(x)＝2sinπx−
3x−x
（2013•唐山二模）函数f(x)＝2sinπx−3x−x2所有零点的和等于（　　）
依题意，0≤x≤3，函数f（x）=2sinπx-
3x−x2的零点，即方程2sinπx=
3x−x2的解．
令h（x）=2sinπx，则其周期T=2；
令y=g（x）=
3x−x2，
则y2+(x−
3
2)2=
9
4（y≥0），其轨迹为以（
3
2，0）为圆心，
3
2为半径的上半圆；
∵h（x）=2sinπx与g（x）=
3x−x2都关于x=
3
2对称，那么只要判断解的个数就可以．

∵h（0）=g（0），两函数都从原点出发（0，0）是一个交点；
又h（
1
2）=2＞g（
1
2）=

5
2，f（
1
2）=h（
1
2）-g（
1
2）＞0；
h（1）=0，g（1）=
2，f（1）=h（1）-g（1）＜0，
∴h（x）=g（x）区间（0，
1
2）内有1个交点，在区间（
1
2，1）内有1个交点；
同理可知，h（x）=g（x）区间（2，2
1
2）内有1个交点，在区间（2
1
2，3）内有1个交点，在x=3处有1个交点；
由h（x）=2sinπx与g（x）=
3x−x2都关于x=
3
2对称得：6个交点的横坐标相加等于3×（2×
3
2）=9．
所有零点的和是9．
故选C
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