在平面直角坐标系中,已知A（-2,0）,C（0,2）,x轴上有一动点P从A出发沿射线AO方向运动,y轴上有一动点Q从C出

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/13 08:09:56

在平面直角坐标系中,已知A（-2,0）,C（0,2）,x轴上有一动点P从A出发沿射线AO方向运动,y轴上有一动点Q从C出发沿射线OC运动,且两点运动的速度均为1个单位/秒,PQ与直线AC交与点D.
（1）运动时间t为多少时,S△POQ=S△AOC?
（2）运动时间t为多少时,PQ=2AC?
（3）作PE⊥AC于点E,当P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论

1）S△POQ=1/2*OP*OQ=1/2*｜2-t｜*(2+t)
S△AOC=1/2*OA*OC=1/2*2*2=2
则S△POQ=S△AOC,即1/2｜4-t^2｜=2,得t=0或者t=±2√2
t>0的,则t=2√2时满足条件.
2）AC=2√2,则PQ=2AC=4√2
PQ^2=OP^2+OQ^2
所以32=（2-t）^2+(2+t)^2
化简：t=±2√3
所以取t=2√3时满足条件.
3）不改变
AC的直线方程是y=x+2
P的坐标是（-2+t,0）、Q的坐标（0,2+t）（t>0)
则PQ的直线方程是y=（2+t）x/（2-t）+2+t
交点D就是两直线方程的交点,坐标为（t/2 -1,t/2 +1）
D在x轴上的投影D',则D’A=t/2 -1+2=（t+1）/2
PA=-2+t+2=t
DA=（t+1）/2÷cos45=√2/2t+√2/2
AE=PA*cos45=tcos45=√2/2t
DE=DA-AE==√2/2t+√2/2-√2/2t==√2/2
所以不变