百度作业网用定积分求和式极限的一个问题
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 07:07:03
用定积分求和式极限的一个问题
见图片
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无法理解楼主思路,特别是你第二个问题. 我尝试解释一下看楼主能否理解.
把那条极限求和的式子看成无数个矩形求和
每个矩形的长都是 π/(2n) 高则是2cos [ iπ/(2n) - π/(4n)]
当n趋于正无穷的时候,这些矩形面积之和也将趋近于 cosx 在[0,π/2]之下的面积.
和楼主给的定积分定义不太相同的是, 这里第i 个矩形的高取的值是 2cosx 在第i 个区间[(i-1)π/(2n), iπ/(2n)] 的中点的值, 即2cos [ iπ/(2n) - π/(4n)]
使用定积分定义的时候,小区间的长度也就是矩形的长究竟是 π/(2n)还是 π/n 都没有问题,关键是矩形的高要对应得上.
这道题中函数自变量x = iπ/(2n) - π/(4n) ,i每增加1,x增加 π/(2n).所以很自然地把矩形的长取为π/(2n).
若非要像楼主所想的把区间长度取为π/n ,则第i个矩形的高取的值,是cos(x/2)在第i个区间 [ (i-1)π/n, iπ/n] 的中点的值 即 cos [ iπ/(2n) - π/(4n)]. 不过这样的话积分的区间就变成[0,π]了.
不管怎么理解那条求和的式子 结果都是一样的.
再问： 看图片
再答： 你的式子不完整，最后一项应该是cos(pi/2)。 不过理解你的意思了。。。 还是不对。。。 应该看成 2cosx 在[0,pi/2]的积分，而且取得还是（第i个）区间[(i-1)pi/(2n), ipi/(2n)]的右端点。。。
把那条极限求和的式子看成无数个矩形求和
每个矩形的长都是 π/(2n) 高则是2cos [ iπ/(2n) - π/(4n)]
当n趋于正无穷的时候,这些矩形面积之和也将趋近于 cosx 在[0,π/2]之下的面积.
和楼主给的定积分定义不太相同的是, 这里第i 个矩形的高取的值是 2cosx 在第i 个区间[(i-1)π/(2n), iπ/(2n)] 的中点的值, 即2cos [ iπ/(2n) - π/(4n)]
使用定积分定义的时候,小区间的长度也就是矩形的长究竟是 π/(2n)还是 π/n 都没有问题,关键是矩形的高要对应得上.
这道题中函数自变量x = iπ/(2n) - π/(4n) ,i每增加1,x增加 π/(2n).所以很自然地把矩形的长取为π/(2n).
若非要像楼主所想的把区间长度取为π/n ,则第i个矩形的高取的值,是cos(x/2)在第i个区间 [ (i-1)π/n, iπ/n] 的中点的值 即 cos [ iπ/(2n) - π/(4n)]. 不过这样的话积分的区间就变成[0,π]了.
不管怎么理解那条求和的式子 结果都是一样的.
再问： 看图片
再答： 你的式子不完整，最后一项应该是cos(pi/2)。 不过理解你的意思了。。。 还是不对。。。 应该看成 2cosx 在[0,pi/2]的积分，而且取得还是（第i个）区间[(i-1)pi/(2n), ipi/(2n)]的右端点。。。