求极限：lim(x→0）(1/x^2)[1-cosx(cos2x)^(1/2)(cos3x)^(1/3)...(cosn

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 22:31:35

求极限：lim(x→0）(1/x^2)[1-cosx(cos2x)^(1/2)(cos3x)^(1/3)...(cosnx)^(1/n)]

需要用到的知识点,等价无穷小+重要极限+洛必达法则
首先证明：当x→0,(cosnx)^(1/n) 1-(n/2)*x^2 (等价无穷小）
这是因为,lim(x→0) cosnx/[1-(n/2)*x^2]^n,应用洛必达法则,上下同时求导,得
上式 = lim(x→0)(-nsinnx)/[n*[(1-(n/2)*x^2)^(n-1)]*(-n*x) = lim(x→0)sinnx/nx = 1
于是
所求极限的分子可等价于
1-cosx(cos2x)^(1/2)(cos3x)^(1/3)...(cosnx)^(1/n)
1-(1-(1/2)*x^2)*(1-(2/2)*x^2)*...*(1-(n/2)*x^n) 展开
1-(1-(1/2+2/2+3/2+...+n/2)*x^2 + o(x^4)) (1/2+2/2+3/2+...+n/2)*x^2 - o(x^4)
因此所求极限=(1/2+2/2+3/2+...+n/2)=(n+1)*n/2/2 = n*(n+1)/4
再问： lim(x→0) cosnx/[1-(n/2)*x^2]^n，这个是不定式吗？能用罗比达法则吗？
再答：额好像不要用哦，，本来式子应该是这样写的，1-(cosnx)^(1/n) ~ (n/2)*x^2 【类似于1-cosx ~(x^2)/2一样】
再问：不过答案是对的，你的方法启发了我，只好把后面直接展成幂级数
再答：嗯。事实上，求极限，最好用的还是等价无穷小，多思考思考。

求极限：lim(x→0）(1/x^2)[1-cosx(cos2x)^(1/2)(cos3x)^(1/3)...(cosn 高数求极限,求极限：lim（x趋向0） [1-cosx(cos2x)^1/2(cos3x)^1/3]/[ln(1+x)- 求极限：lim（x趋向0） [1-cosx(cos2x)^1/2(cos3x)^1/3]/[ln(1+x)-x] 大一高数求极限 .lim x->0 [1-cosx(cos2x)^1/2(cos3x)^1/3]/x^2 求极限 lim(x→0){(cos2x-cos3x)/[(1+x^2)-1]} 三道极限题1. lim(x->0) [1-cosx√cos2x(3^√cos3x)]/x^2的极限2. 当x->0+时求当x趋近于0时,(1-cosx*(cos2x)^(1/2)*(cos3x)^(1/3))/(x^2)的极限. 求极限：lim（x→0）[cosx+cos^x+cos3（次方）x+……+cosn（次方）x] /（cosx-1）,[n [1-(cosx)(cos2x)^1/2(cos3x)^1/3]/x^2的极限 lim x→0 (1-cosx√cos2x√cos3x)/(e^x+1)sinx dx lim(cosx+cos2x+ cos3x+…+ cos nx-n)/(cosx-1) (x趋于0) 求极限求导的问题A.1/3 * lim(x-> π /2) (2cos3x*-3sin3x)/(2cosx*-sinx)