关于微分方程与定积分的题目,求可导函数f(x),使得∫[x,0]f(t)dt=x+∫[x,0]tf(x-t)dt

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 05:54:22

关于微分方程与定积分的题目,求可导函数f(x),使得∫[x,0]f(t)dt=x+∫[x,0]tf(x-t)dt
解方程y''-3y'+2y=sine^(-x),

x和0谁是上限谁是下限啊,我当作x是上限,0是下限
等式右边的那个积分需要先换元,令x-t=u,则dt=-du,t从0变到x,则u从x变到0
那个积分可化为：-∫[0,x](x-u)f(u)du=x∫[x,0]f(u)du-∫[x,0]uf(u)du
原方程化为：∫[x,0]f(t)dt＝x+x∫[x,0]f(u)du-∫[x,0]uf(u)du
两边对x求导得：f(x)=1+∫[x,0]f(u)du+xf(x)-xf(x),即f(x)=1+∫[x,0]f(u)du （1）
两边再对x求导得：f'(x)=f(x),这就是微分方程
将x=0代入（1）得：f(0)=1,这就是初始条件
下面解微分方程：f'(x)=f(x),即f'(x)/f(x)=1,得ln|f(x)|=x+ln|C|
因此方程解为f(x)=Ce^x,将初始条件代入可得C＝1,f(x)=e^x
再问：请问-∫[0,x](x-u)f(u)du=x∫[x,0]f(u)du-∫[x,0]uf(u)du 这一步里上下限怎么转换了？
再答：把前面的负号消去了。
再问：谢谢，能否帮忙解答一下补充的另外一题？
再答： sine^(-x)? 题没错吧，书上没有这个类型啊。
再问：是sin （e的负X次方）
再答：题肯定错了，这个自由项太复杂了，估计手算很困难。而且也不是高数中需要掌握的。

关于微分方程与定积分的题目,求可导函数f(x),使得∫[x,0]f(t)dt=x+∫[x,0]tf(x-t)dt 定积分问题：F(x)=积分（ 0到x）tf(t) dt 求F'(x) ∫ 0到x tf(x-t)dt=∫ 0到x (x-t)f(t)dt 为什么? f(x)=e^x-x∫f(t)dt+∫tf(t)dt,（其中式子中积分为定积分,上限均为x,下线均为0）,其f连续,求f 定积分问题：已知F(x)=（定积分号上x下0）（tf(x-t) dt）.求F(x)的导数. 请网友高手解释下[∫(0,x)tf(t)dt]'=xf(x)-∫(0,x)f(t)dt积分求导的推导过程, 变上限积分F(x)＝∫(上限x,下限0)tf（t）dt,求F(x)的导数定积分f(x)=∫0到1|x-t|dt的表达式求定积分f(x)=∫0到1|x-t|dt的表达式已知f(x)∫0tf(t)dt=1,试求函数f(x)的一般表达式关于积分上下限F(x)=∫0 x2 tf(x-t)dt,求F'(X)令u=x-t F(x)=∫x x-x2(x-u)f( 定积分∫tf（x-t)dt（0到x）=1-cosx,则∫f（x）dx（0到π/2）