求证：矩阵A的列向量组线性相关 (AT A)的行列式为零

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 10:08:58

求证：矩阵A的列向量组线性相关 (AT A)的行列式为零
求证：
m元向量组a1,a2,...,an线性相关的充要条件是
det(AT A)=0,其中Amxn=[a1,a2,...,an]
AT是trans(A)即A的转置
一楼请具体描述下矩阵A^T的行帙=矩阵A的列帙

明白LZ的意思.是想问为什么R(A)=R(AT A),即A的秩等于AT A的秩是吧.
我来证明一下这个命题.
构造两个齐次线性方程组：
（1）Ax=0, (2)(AT A)x=0
如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数.
这个很好理解对吧,《线性代数》的基本内容.
现在来证明它们同
首先,如果x1是（1）的解,那么它肯定也是（2）的解,因为将其代入（2）：
(AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0
其次证明（2）的解也是（1）的
设x1是（2）的解,则AT A x1=0
进一步有：x1T AT A x1=0
即(Ax1)T (Ax1)=0
假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T
则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那么只有a1=a2=...=an=0
也就是Ax1=0
至此说明了(2)的解也是(1)的解.
于是R(A)=R(AT A)
就是这一步有点难,接下来的问题都是迎刃而解了.

求证：矩阵A的列向量组线性相关 (AT A)的行列式为零如果A矩阵列向量线性相关那么A矩阵是否行向量也线性相关由A列向量线性相关得出A的行列式为0 A为5*6矩阵,则矩阵AT*A的列向量组线性相关还是无关? 线代题!设AB为满足AB=0的任意非零矩阵,则有 a.A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 b.A的列向量组线性相线性代数行列式问题一个矩阵的行列式为零,为什么说明这个矩阵的行向量或者列向量就线性相关? 如果两个非零矩阵AB=0,则A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关, 设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵,则必有（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关一道线代矩阵基础题设两个非零矩阵A,B,满足AB=0,则必有：A的列向量组线性相关.麻烦解释下. 行列式为零,那是行向量线性相关还是列向量线性相关凡行向量组线性相关的矩阵,它的列向量组也线性相关? 设A为n×s矩阵,A的列向量组线性无关,证明存在列向量线性无关的B,使得P=（A,B)可逆,且若矩阵的某几行线性相关,则它的行列式为零.