（2010•长春模拟）如图1所示，在边长为12的正方形AA′A1′A1中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/29 09:04:55

（2010•长春模拟）如图1所示，在边长为12的正方形AA′A₁′A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A₁′与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比．

（1）证明：在正方形AA′A₁′A₁中，
因为A′C=AA′-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，所以AB²+BC²=AC²．所以AB⊥BC．
因为四边形AA′A₁′A₁为正方形，BB₁∥AA₁，所以AB⊥BB₁．
而BC∩BB₁=B，BCÌ平面BCC₁B₁，BB₁Ì平面BCC₁B₁，
所以AB⊥平面BCC₁B₁．（7分）
（2）因为AB⊥平面BCC₁B₁，所以AB为四棱锥A-BCQP的高．
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面积为S_BCQP=
1
2（BP+CQ）×BC=20．
所以四棱锥A-BCQP的体积V_A-BCQP=
1
3S_BCQP×AB=20．
由（1），知BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，且AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC．
所以BB₁⊥平面ABC．所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直棱柱．
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V_ABC-A1B₁C₁=S_△ABC×BB₁=72．
故平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分的体积之比为
72−20
20=
13
5（14分）

（2010•长春模拟）如图1所示，在边长为12的正方形AA′A1′A1中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，（2014•福建模拟）如图1所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB 已知：如图,点A'、B'、C'、D'分别在正方形的边AB、BC、CD、DA上,且AA'=BB'=CC'=DD'.求证：四已知：如图,点A’、B’、C’、D’分别在正方形的边AB、BC、CD、DA上,且AA’=BB’=CC’=DD’,求证：四如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，点E在边AB上，且AE=4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向如图,点A’、B'、C’、D'分别在长方形的边AB、BC、CD、DA上,且AA'=BB'=CC'=DD' 已知;如图,点A'B'C'D'分别在正方形的边AB.BC.CD.DA上,且AA'=BB'=CC'=DD'.求证;四边形A 如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°,点A、B、D分别落在点A1、B1、D1处,如果AB=3,BC=4,那么∠AA 如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=1,BC=2,AA′=3 如图，A，B，C为不在同一条直线上的三点，AA′∥BB′∥CC′，且AA′=BB′=CC′，求证：平面ABC∥平面A′B 如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=AB=BC=1，∠ABC=90°．棱A′C′上有两个动点E，F，且EF= 已知如图,△ABC是等边三角形,A’、B'、C’分别是AB、BC、CA上的点,且AA'=BB'=CC'.