牛顿莱布尼茨公式求区间内函数所包含的面积,如何理解?

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 14:52:44

牛顿莱布尼茨公式求区间内函数所包含的面积,如何理解?
我是微积分初学者,目前已经知道函数特定区间内所包含的面积可用牛顿莱布尼茨公式,但是不能理解为什么可以这么做,为什么被积函数要转换成原函数,再在原函数上求积分路径F（终点）-F（起点）,然后这个数值为什么就等于前面所说的面积?还有每个函数的原函数不是都有无数多个吗,怎么算的时候就自动把那个C去掉了呢?哪位高人能解释一下,就拿最简单的被积函数为y=x,区间【1,2】来解释吧,感激不尽!

不知你学过微积分中值定理没有,学过的话这个问题很容易理解.没学过你再问我吧.
中值定理说的是,对一个闭区间[a,b]连续可导的函数F(x),总能在区间内找到一点c, 使得
F'(c)(b-a) = F(b) - F(a),
其几何含义就是,连接(a,F(a))和(b,F(b))这条线段,那么这条线段总会和区间内某一点的切线平行.知道这个后,你想,定积分定义里面是无穷个小段面积加起来,也就是
Sum (i从1到n) f(ci) (x(i) - x(i-1))
其中ci是区间 [x(i-1), x(i)]内一点.
如果f的原函数是F,那每一项小面积不就可以表示成 F(x(i)) - F(x(i-1)) 吗?（我这里都是直观上进行解释,不是精确的证明）,那么整个求和的式子不就变成 F(x(n)) - F(x(0)) 吗（相邻项抵消）,于是定积分就转化为原函数在端点的数值差了,这就是牛顿-莱布尼茨公式的原理.
第二,原函数的确有无穷多个,但是我们需要的是数值的差,因此 F(b) + C - [F(a) + C] 中的C在做减法后抵消了,所以求定积分时不用写C.
最后,你说的y=x的例子非常好理解.先考虑用定积分定义求面积.于是每一个小区间上的面积是梯形面积：[x(i) + x(i-1)] c(i) / 2,当划分得无限细密的时候,c(i)其实和x(i), x(i-1)都非常接近,所以每一个区间段上的面积就近似是 (x + x)x/2 = x^2,最后加起来的面积一定是和x的平方有关的,而y=x原函数不就是 y = x^2/2吗,因此这个面积可以用原函数来表示就不奇怪了.
再问：其余的都明白，就有一个点不明白，为什么你说的 f(ci) (x(i) - x(i-1))等于F(x(i)) - F(x(i-1)) ？？这里的f(ci)是导数还是函数在x=ci的时候y的值？？？麻烦再耐心讲解一下，谢谢。
再答： f(ci)是函数在这点的数值，F是f的原函数，根据中值定理，由于F的导数就是f，所以 f(ci) (x(i) - x(i-1)) = F(x(i)) - F(x(i-1))

牛顿莱布尼茨公式求区间内函数所包含的面积,如何理解? 想问下如何证明在区间上可积但不连续的被积函数满足牛顿—莱布尼茨公式呢? 牛顿莱布尼茨公式可导函数不连续的证明利用牛顿莱布尼茨公式求定积分莱布尼茨公式是什么?莱布尼茨公式求高阶导数怎么求呢?是莱布尼茨公式，不是牛顿-莱布尼茨公式。- - 牛顿-莱布尼茨公式是什么? 不是牛顿-莱布尼茨公式,是那个求高阶导数的公式,里面的C是什么?怎么求如何理解恩格斯说:微积分是由牛顿,莱布尼茨大体完成的,而不是他们发明的求莱布尼茨公式的证明. 高数牛顿莱布尼茨公式的一个问题 MATLAB 如何求函数在某一区间内的反函数? 闭区间【1,3】,f(x)=艮号x+1,求函数区间内的面积.我用积分加和...为什么算出来没有公式能解