设函数f(x)=ax^3+3/2(2a-1)x^2-6x (a∈R),若函数f(x)在区间(-∞,-3)是增函数,求实数
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 12:42:33
设函数f(x)=ax^3+3/2(2a-1)x^2-6x (a∈R),若函数f(x)在区间(-∞,-3)是增函数,求实数a的取值范围?
f(x)=ax^3+(3/2)(2a-1)x^2-6x
则,f'(x)=3ax^2+3(2a-1)x-6=3[ax^2+(2a-1)x-2]=3(ax-1)(x+2)
(i)
当a=0时,f'(x)=-3x-6
则,x=-2时,f'(x)=0
当x>-2时,f'(x)<0,f(x)递减;当x<-2时,f'(x)>0,f(x)递增.
此时无法满足条件
(ii)
若a>0,则f'(x)=3(ax-1)(x+2)>0时有:x>1/a,或者x<-2
即,f(x)在x<-2时递增
则满足在区间(-∞,-3)上递增
若a<0,则f'(x)=3(ax-1)(x+2)>0时,===> (-ax+1)(x+2)<0
则无论是在区间(1/a,-2),还是区间(-2,1/a)内,f(x)递增
此时都无法满足在区间(-∞,-3)上递增
综上:a>0
则,f'(x)=3ax^2+3(2a-1)x-6=3[ax^2+(2a-1)x-2]=3(ax-1)(x+2)
(i)
当a=0时,f'(x)=-3x-6
则,x=-2时,f'(x)=0
当x>-2时,f'(x)<0,f(x)递减;当x<-2时,f'(x)>0,f(x)递增.
此时无法满足条件
(ii)
若a>0,则f'(x)=3(ax-1)(x+2)>0时有:x>1/a,或者x<-2
即,f(x)在x<-2时递增
则满足在区间(-∞,-3)上递增
若a<0,则f'(x)=3(ax-1)(x+2)>0时,===> (-ax+1)(x+2)<0
则无论是在区间(1/a,-2),还是区间(-2,1/a)内,f(x)递增
此时都无法满足在区间(-∞,-3)上递增
综上:a>0
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