过抛物线y =ax^2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 00:44:45

过抛物线y =ax^2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长
分别是p、q,则 1/p+1/q等于（）
A．2a B．1/（2a） C．4a D． 4/a
答案是C,求过程,写的越详细越好.基础分20,请详解.
注：过抛物线y =ax^2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则 1/p+1/q等于（）
A．2a B．1/（2a） C．4a D． 4/a
谢谢一楼！有没有简便的做法？

抛物线标准方程：x^2=y/a
F(0,1/(4a)),设P(x1,y1) Q(x2,y2),
PQ平行于X轴时,方程为：y=1/(4a),p=q=1/(2a),1/p+1/q=4a
PQ不平行于X轴时,设其方程为x=k(y-1/(4a))
代入抛物线方程得：y=ak^2*(y-1/(4a))^2
16ay=k^2(4ay-1)^2
16(aky)^2-(8ak^2+16a)y+k^2=0
y1+y2=1/(2a) + 1/(ak^2)
y1y2=1/(16a^2)
准线：y=-1/(4a)
PF=y1+1/(4a),FQ=y2+1/(4a)
p+q=y1+y2+1/(2a)=(k^2+1)/(ak^2)
pq=y1y2+(y1+y2)/(4a)+1/(4a)^2
=1/(16a^2) + 1/(8a^2) + 1/(4a^2k^2) + 1/(16a^2)
=(k^2+1)/(4a^2k^2)
1/q+1/p=(p+q)/(pq)=4a
综上可知,等于4a.
C