百度作业网一道高二数学例题（含有绝对值的不等式）：
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 19:52:12
一道高二数学例题（含有绝对值的不等式）：
我们知道,当 a ＞0 时,
| x | ＜ a ⇔ －a ＜ x ＜ a ,
| x | ＞a ⇔ x ＞ a ,或 x ＜－ a .
根据上面的结果和不等式的性质,我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质：
| a | － | b | ≤ | a ＋ b | ≤ | a | ＋ | b |.
现证明这个性质：
证明：∵ － | a | ≤ a ≤ | a |,
－ | b | ≤ b ≤ | b |,
∴ －（| a | ＋| b | ）≤ a ＋b ≤ | a | ＋| b | ,
即
| a ＋ b | ≤ | a | ＋| b | .①
又
a ＝ a ＋b －b ,| －b | ＝ | b |,
所以由①得
| a |＝| a ＋b －b | ≤ | a ＋b | ＋ | －b|,
即
| a | － | b | ≤ | a ＋b |.②
由① ,② 得
| a | － | b | ≤ | a ＋b | ≤ | a | ＋| b | .
现在的问题是：该证明题的后半部分推导过程中,从
| a ＋ b | ≤ | a | ＋| b | .①
到这一步 | a |＝| a ＋b －b | ≤ | a ＋b | ＋ | －b| 是怎么来的?谢谢朋友们了,麻烦大家将答案写的尽可能详细一点,看明白后即刻采纳.
我们知道,当 a ＞0 时,
| x | ＜ a ⇔ －a ＜ x ＜ a ,
| x | ＞a ⇔ x ＞ a ,或 x ＜－ a .
根据上面的结果和不等式的性质,我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质：
| a | － | b | ≤ | a ＋ b | ≤ | a | ＋ | b |.
现证明这个性质：
证明：∵ － | a | ≤ a ≤ | a |,
－ | b | ≤ b ≤ | b |,
∴ －（| a | ＋| b | ）≤ a ＋b ≤ | a | ＋| b | ,
即
| a ＋ b | ≤ | a | ＋| b | .①
又
a ＝ a ＋b －b ,| －b | ＝ | b |,
所以由①得
| a |＝| a ＋b －b | ≤ | a ＋b | ＋ | －b|,
即
| a | － | b | ≤ | a ＋b |.②
由① ,② 得
| a | － | b | ≤ | a ＋b | ≤ | a | ＋| b | .
现在的问题是：该证明题的后半部分推导过程中,从
| a ＋ b | ≤ | a | ＋| b | .①
到这一步 | a |＝| a ＋b －b | ≤ | a ＋b | ＋ | －b| 是怎么来的?谢谢朋友们了,麻烦大家将答案写的尽可能详细一点,看明白后即刻采纳.
你认可 | a ＋ b | ≤ | a | ＋| b | . ① 么?
如果认可
那么
| a |＝| a ＋b －b | ≤ | a ＋b | ＋ | －b|
只是把a+b当做① 中的a,-b当做① 中的b
| a ＋b －b |=|(a+b)+(-b)|
如果认可
那么
| a |＝| a ＋b －b | ≤ | a ＋b | ＋ | －b|
只是把a+b当做① 中的a,-b当做① 中的b
| a ＋b －b |=|(a+b)+(-b)|