（1）如果对不小于8的自然数n,当3n+1是完全平方数时,n+1都能表示成k个平方数的和,那么k的最小值是多少?

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/23 00:13:37

（1）如果对不小于8的自然数n,当3n+1是完全平方数时,n+1都能表示成k个平方数的和,那么k的最小值是多少?
（2）一架飞机从A城飞往B城,然后再返回A城,在无风的情况下,它整个往返飞行的平均地速（相对于地面的速度）为每小时100英里.假设沿着从A城B城的方向笔直的刮着一股持续的大风,如果在飞机往返飞行的整个过程中发动机的速度同往常的完全一样,这股风将对往返飞行的平均时速有何影响?
（3）数学家维纳斯今年的岁数的立方是个四位数,岁数的4次方是个六位数,这两个数,刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、全都用上了,问维纳斯的年龄是多少?

1
由已知3n+1是一个完全平方数,
所以我们就设3n+1=a^2,
显然a^2不是3的倍数,于是a=3k±1,
从而3n+1=a^2=9k^2±6k+1,n=3k^2±2k
即n+1=2k^2+(k±1)^2,所以k的最小值是3.
2
设路程为Y 风为X
没风有
100英里
有风
100-
时间=Y/（100+X）+Y/（100-X） V=Y/T=1/[1/（100+X）+1/（100-X）]= （100+X）*（100-X）/100小于100 所以平均速度变小
3在博士学位的授予仪式上,执行主席看到一脸稚气的维纳,颇为惊讶,于是就当面询问他的年龄.维纳不愧为数学神童,他的回答十分巧妙：“我今年岁数的立方是个四位数,岁数的四次方是个六位数,这两个数,刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了,不重不漏.这意味着全体数字都向我俯首称臣,预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业.”
维纳此言一出,四座皆惊,大家都被他的这道妙题深深地吸引住了.整个会场上的人,都在议论他的年龄问题.
其实这个问题不难解答,但是需要一点数字“灵感”.不难发现,21的立方是四位数,而22的立方已经是五位数了,所以维纳的年龄最多是21岁；同样道理,18的四次方是六位数,而17的四次方则是五位数了,所以维纳的年龄至少是18岁.这样,维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个.
剩下的工作就是“一一筛选”了.20的立方是8000,有3个重复数字0,不合题意.同理,19的四次方等于130321,21的四次方等于194481,都不合题意.最后只剩下一个18,是不是正确答案呢?验算一下,18的立方等于5832,四次方等于104976,恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字,多么完美的组合!
这个年仅18岁的少年博士,后来果然成就了一番大事业：他成为信息论的前驱和控制论的奠基人.

（1）如果对不小于8的自然数n,当3n+1是完全平方数时,n+1都能表示成k个平方数的和,那么k的最小值是多少? 如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是完全平方数时,n+1都能表示成k个平方数的和,求K的最小值. 如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k完全平方数的和,那么k等于多少? 如果对于不少于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成k各完全平方数的和,求k的最小值称能表示成1+2+3+…+k的形式的自然数为三角数，有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数，N=______．如何证明对任和自然数n,n(n+1)都不可能是完全平方数? 当n为自然数时,代数式(n的平方-n+1)(n的平方-n+3)+1是个完全平方公式,请说明理由. 已知n/2是完全平方数,n/3是完全立方数,则n的最小值是多少? 设S=1＊2＊．．＊N＋（4k+3),N大于等于3,k是1～100之间的自然数．S为完全平方数,k的值有几种? 当n为自然数时,代数式（n的平方-n+1)(n的平方-n+3)+1是一个完全平方式,请简要说已知n是自然数,如果n+20和n-21都是完全平方数求n的值. 证明：对任意自然数n,代数式（n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1是一个完全平方数