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来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/29 09:23:19
（2009•朝阳区一模）如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大小；
（Ⅲ）求直线B′D与平面AB′C所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：因为AC=BC，D是AB的中点，所以CD⊥AB．
由已知，三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ABB′A′．
所以CD⊥平面ABB′A′．
又因为AB′⊂平面ABB′A′，
所以CD⊥AB′．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD⊥平面ABB′A′．
过D作DE⊥AB′，垂足为E，连接CE．
由三垂线定理可知CE⊥AB′，
所以∠CED是二面角B-AB′-C的平面角．
由已知可求得CD＝
2，DE＝
2
3，
所以tan∠CED＝
CD
DE＝
6
2．
所以二面角B-AB′-C的大小为arctan
6
2．
由于二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补，
所以二面角A′-AB′-C的大小为π−arctan
6
2．（10分）
（Ⅲ）过D作DF⊥CE，垂足为F，连接B′F．
由（Ⅱ）可证得AB′⊥平面CDE，所以AB′⊥DF，可证得DF⊥平面AB'C．
所以，∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角．
在直角三角形CDE中，可知CE＝
30
3，所以DF＝
CD•DE
CE＝
2
5
5．
在直角三角形BB′D中，可知B′D=3
2．
在直角三角形DB′F中，sin∠DB′F=
DF
DB′＝
10
15．
所以直线B'D与平面AB'C所成角的正弦值为
10
15．（14分）
由已知，三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ABB′A′．
所以CD⊥平面ABB′A′．
又因为AB′⊂平面ABB′A′，
所以CD⊥AB′．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD⊥平面ABB′A′．
过D作DE⊥AB′，垂足为E，连接CE．
由三垂线定理可知CE⊥AB′，所以∠CED是二面角B-AB′-C的平面角．
由已知可求得CD＝
2，DE＝
2
3，
所以tan∠CED＝
CD
DE＝
6
2．
所以二面角B-AB′-C的大小为arctan
6
2．
由于二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补，
所以二面角A′-AB′-C的大小为π−arctan
6
2．（10分）
（Ⅲ）过D作DF⊥CE，垂足为F，连接B′F．
由（Ⅱ）可证得AB′⊥平面CDE，所以AB′⊥DF，可证得DF⊥平面AB'C．
所以，∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角．
在直角三角形CDE中，可知CE＝
30
3，所以DF＝
CD•DE
CE＝
2
5
5．
在直角三角形BB′D中，可知B′D=3
2．
在直角三角形DB′F中，sin∠DB′F=
DF
DB′＝
10
15．
所以直线B'D与平面AB'C所成角的正弦值为
10
15．（14分）
（2009•朝阳区一模）如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是A
（2009•朝阳区一模）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱AA′=4，底面三角形ABC中，AC=BC=2，∠ACB
在三棱柱ABC-A'B'C'中AA′⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC′=根号2,
在三棱柱ABC-A'B'C'中AA′⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC′=根号2,P是BC′上一动点,
在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AB=AC=AA′＝2，BC＝23
如图在三棱柱ABC-A'B'C'中,D是AB的中点AC=BC=1 角ACB=90度 AA'=根号2
如图，直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1 =2，D、E分别
在直三棱柱ABC-A'B'C'中,角BAC=90°,AB=AC=AA'=1,D是CC'上一点
如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC-A1B1C1中，已知AC=BC=AA1=a，∠ACB=90°，F是棱BB
（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 中，∠ACB=90°，AC=BC=CC 1 =2.
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=2，D 是A1B1中点．
如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=AB=BC=1，∠ABC=90°．棱A′C′上有两个动点E，F，且EF=