一道不等式证明题已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.求证：[（1/a)+6b]^(1/3)+[（1/b)+6c]

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 04:22:23

一道不等式证明题
已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.求证：[（1/a)+6b]^(1/3)+[（1/b)+6c]^(1/3)
+[（1/c)+6a]^(1/3)≤1/abc

设(1/a+6b)^(1/3)+(1/b+6c)^(1/3)+(1/c+6a)^(1/3)≤1/(abc) ------(1）
证明
（1） (abc)^(2/3)*{[bc(1+6ab)]^(1/3)+[ca(1+6bc)]^(1/3)+[ab(1+6ca)]^(1/3)}≤1
设bc=x,ca=y,ab=z.则x+y+z=1.
上式置换后等价于
(xyz)^(1/3)*{[x(1+6z)]^(1/3)+[y(1+6x)]^(1/3)+[z(1+6y)]^(1/3)})}≤1 ------(2)
因为
3*[x(1+6z)]^(1/3)
=[3*9x*(1+6z)]^(1/3)
≤ [3+9x+(1+6z)]/3=(4+9x+6z)/3
所以 [x(1+6z)]^(1/3)≤(4+9x+6z)/9
同理
[y(1+6x)]^(1/3)≤(4+9y+6x)/9
[z(1+6t)]^(1/3)≤(4+9z+6y)/9
故得
[x(1+6z)]^(1/3)+[y(1+6x)]^(1/3)+[z(1+6y)]^(1/3)≤
[12+15(x+y+z)]/9=3
而(xyz)^(1/3)≤(x+y+z)/3=1/3,即知(2)式成立,
所以(1)获证.

一道不等式证明题已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.求证：[（1/a)+6b]^(1/3)+[（1/b)+6c] 一道不等式证明题已知a、b、c为正实数,且ab+bc+ca=3,求证a^2+b^2+c^3+3abc≥6题没错！已知a+b+c=1求证ab+bc+ca 已知a,b,c是正数,且ab+bc+ca=1,求证:a+b+c>=根3 已知：a，b，c都是正实数，且ab+bc+ca=1．求证：a+b+c≥3 已知a,b,c＞0,abc=1,求证：a^3+b^3+c^3≥ab+bc+ca 已知a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,用综合法证明下列不等式成立的是已知a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,用综合法证明下列不等式成立的是：①1/a+1/b+1/ 若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,用柯西不等式证明:a+b+c≥根号3 已知a+b+c=0,且a、b、c互不相等.求证：a^/2a^+bc+b^/2b^+ca+c^/2c^+ab=1. a,b,c都是正实数,且ab+bc+ca=1 求证a+b+c≥根号3 已知：a.b.c.都是正实数,且ab+bc+ca=1.求证：a+b+c>=根号3