百度作业网已知定义域为R的函数f(x)满足
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 14:31:47
已知定义域为R的函数f(x)满足
1.对任意的x,y属于R,恒有f(x-y)+f(x+y)=2f(x)f(y)
2.f(0)不等于0
（1）求证：f(x)是偶函数
（2）求证：f(2x)=2f^2(x)-1
（3）若存在正数a,使f(a)=0,求证：
1.对任意实数x,恒有f(x)+f(x+2a)=0
2.f(x)是周期函数,且4a是它的一个周期
1.对任意的x,y属于R,恒有f(x-y)+f(x+y)=2f(x)f(y)
2.f(0)不等于0
（1）求证：f(x)是偶函数
（2）求证：f(2x)=2f^2(x)-1
（3）若存在正数a,使f(a)=0,求证：
1.对任意实数x,恒有f(x)+f(x+2a)=0
2.f(x)是周期函数,且4a是它的一个周期
（1）令x=y=0,则由性质一有f(0-0)+f(0+0)=2f(0)f(0),即2f(0)=2f(0)^2
因为f(0)不等于0,所以f(0)=1；
再令x=0,则对任意的实数y都有f(0-y)+f(0+y)=2f(0)f(y)即f(-y)+f(y)=2f(y),移项有f(-y)=f(y),所以f(x)是偶函数
（2）令x=y则有f(x-x)+f(x+x)=2f(x)f(x)即f(2x)+1=2f(x)^2,即f(2x)=2f^2(x)-1
（3）1、令y=a则有f(x-a)+f(x+a)=2f(x)f(a),因为f(a)=0,则f(x-a)+f(x+a)=0,用x+a替换该式中的x,则有f(x+a-a)+f(x+a+a)=0即f(x)+f(x+2a)=0；
2、因为f(x)+f(x+2a)=0,则有f(x)=-f(x+2a)（1式）,用x+2a替换该式中的x
则有f(x+2a)=-f(x+2a+2a)即f(x+2a)=-f(x+4a)（2式）；
由1式和2式可得f(x)=-f(x+2a)=-(-f(x+4a)),即f(x)=f(x+4a),所以f(x)是周期函数,且4a为周期
因为f(0)不等于0,所以f(0)=1；
再令x=0,则对任意的实数y都有f(0-y)+f(0+y)=2f(0)f(y)即f(-y)+f(y)=2f(y),移项有f(-y)=f(y),所以f(x)是偶函数
（2）令x=y则有f(x-x)+f(x+x)=2f(x)f(x)即f(2x)+1=2f(x)^2,即f(2x)=2f^2(x)-1
（3）1、令y=a则有f(x-a)+f(x+a)=2f(x)f(a),因为f(a)=0,则f(x-a)+f(x+a)=0,用x+a替换该式中的x,则有f(x+a-a)+f(x+a+a)=0即f(x)+f(x+2a)=0；
2、因为f(x)+f(x+2a)=0,则有f(x)=-f(x+2a)（1式）,用x+2a替换该式中的x
则有f(x+2a)=-f(x+2a+2a)即f(x+2a)=-f(x+4a)（2式）；
由1式和2式可得f(x)=-f(x+2a)=-(-f(x+4a)),即f(x)=f(x+4a),所以f(x)是周期函数,且4a为周期
已知定义域为R的函数f(x)满足
已知定义域为R的函数f(x)满足f=f(X)-x^2+x
已知定义域为R的函数f(x)满足f(2+x)= f(2-x).
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已知定义域为R的函数y=f(x)满足以下三个条件：
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