一道平面向量题设向量a、向量b不共线,则关于x的方程ax^2+bx+c=0的解的情况（a、b、c、0都是向量）至多有一个

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 06:28:56

一道平面向量题
设向量a、向量b不共线,则关于x的方程ax^2+bx+c=0的解的情况（a、b、c、0都是向量）
至多有一个实数解

同学,用代数法给你解一解
向量a、b不共线,因此它们都是非零向量（因为零向量与任何向量共线）
设a=(m,n),b=(p,q),c=(s,t),这里m、n、p、q、s、t∈R,且m与n、p与q不能同时为零；0=(0,0).
代入向量方程：(m,n)x^2+(p,q),x+(s,t)=(0,0),即：
(mx^2+px+s,nx^2+qx+t)=(0,0)
因此原向量方程等价于一个一元二次代数方程组：
mx^2+px+s=0 …………………………………………（1）
nx^2+qx+t=0 …………………………………………（2）
由一元二次方程的性质可知：
1、方程（1）、（2）最多分别有两个实数解,
2、方程组的实数解也最多是两个,
现假设方程组有两个实数解,则意味着方程（1）与（2）的实数解都相同,
那么这两个方程是等价的,即存在非零实数k,使得：
nx^2+qx+t≡k(mx^2+px+s)
则要求：km=n,kp=q ==> m/p=n/q,设m/p=n/q=r
r=0时,m=n=0,a是零向量,矛盾.
r≠0时,m=rp,n=rq,即(m,n)=r(p,q),可知向量a、b共线,矛盾.
因此假设不成立,原方程至多有一个实数解.

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