已知,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=-x²+2mx-m²+m-1与x轴交与点A（x1,0）b（

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 21:32:47

已知,在平面直角坐标系xoy中,抛物线y=-x²+2mx-m²+m-1与x轴交与点A（x1,0）b（x2,0）且x1＜x2于y轴交与点C（0,-3）
（1）求抛物线解析式
（2）抛物线顶点是P,求证△OBC和△PAB相似
（3）抛物线上是否存在点Q,使△APQ与△AOC相似,若存在写出所有点Q的坐标,若不存在写出理由
回答时候给图

1）与y轴交于C(0,-3)则常数项为-3,即-m²+m-1=-3解得m1=-1,m2=2∵抛物线与x轴有两个不同的交点∴△=(2m)²+4(-m²+m-1)＞0解得m＞1所以m=2y=-x²+4x-32）解方程x²-4x+3=0得x1=1,x2=3所以A(1,0),B(3,0)∴AB=2y=-x²+4x-3=-(x-2)²+1∴P(2,1)去点H(2,0)则AP=√(AH²+PH²)=√2同理,BP=√2,在Rt△OAB中,0B=3,0C=3,BC=3√2∴OB/PA=OC/PB=BC/AB=3√2:2∴△OBC∽△PAB3）假设存在.设Q（a,-a²+4a-3）则Q不与B重合,所以只可能∠PAQ=∠AOC=90°过Q作QR垂直PR于R.其中PR是抛物线的对称轴.在△OAC中.AC=√(OA²+OC²)=√10因此sin∠AQP=sin∠OCA=1/√10∵AP=√2,∴PQ=AP×√10=2√5∵Q(a,-a²+4a-3)必在第四象限.∴PR=PH+HR=1+a²-4a+3=(a-2)² QR=a-2PR²+QR²=PQ²故(a-2)²+[(a-2)²]²=(2√5)²整理得a³-8a²+25a-36=0 (a-4)(a²-4a+9)=0∵a²-4a+9=(a-2)²+5≥5＞0,∴只能a-4=0,即a=4则-a²+4a-3=-3∴Q(4,-3)经检验,符合题意.